均值回归过程 OU 与 CIR

被拉回的价格

布朗运动会永远漂远，但金融中的很多量不会，比如利率、波动率、两只相关股票的价差。它们会被拉回到某个长期水平。奥恩斯坦-乌伦贝克（OU）过程做的正是这件事。在 $dX=\kappa(\theta-X)\,dt+\sigma\,dW$ 中，$\theta$ 是它回归的水平，$\kappa$ 是拉力的速度，$\sigma$ 是随机冲击的大小。$X$ 高出 $\theta$ 越多，被拉下来的力就越大。

三个数就能描述 OU 过程。到 $\theta$ 的平均距离每隔 $\ln2/\kappa$ 个时间单位减半，这就是半衰期。长期来看，$X$ 会稳定在标准差为 $\sigma/\sqrt{2\kappa}$ 的范围内。另外 $X$ 可能为负，这对价差没问题，对利率或方差却不对。CIR 模型通过让零附近的冲击变小来解决：$dr=\kappa(\theta-r)\,dt+\sigma\sqrt r\,dW$。当 $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$（费勒条件）时，利率保持为正。

• OU 过程：冲击大小恒定的均值回归，可以为负。
• 半衰期 $\ln2/\kappa$ 与长期离散度 $\sigma/\sqrt{2\kappa}$。
• CIR 过程：零附近冲击变小，当 $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$ 时利率保持为正。

实验：评分内容

• 半衰期15 分
• 期望水平15 分
• 长期离散度15 分
• 哪些利率保持为正15 分
• 配对术语15 分
• 用数据拟合 OU 模型10 分
• 为什么价差适合 OU 模型15 分