引き戻される価格 ブラウン運動はどこまでも遠ざかります。金利、ボラティリティ、関連する2銘柄の差など、金融の多くのものはそうなりません。長期の水準に引き戻されます。オルンシュタイン-ウーレンベック（OU）過程はまさにそうした動きです。d X = κ ( θ − X ) d t + σ d W dX=\kappa(\theta-X)\,dt+\sigma\,dW d X = κ ( θ − X ) d t + σ d W θ \theta θ κ \kappa κ σ \sigma σ X X X θ \theta θ
d X = κ ( θ − X ) d t + σ d W , E [ X t ] = θ + ( X 0 − θ ) e − κ t , t 1 / 2 = ln 2 κ , s d ( X ∞ ) = σ 2 κ dX=\kappa(\theta-X)\,dt+\sigma\,dW,\quad E[X_t]=\theta+(X_0-\theta)e^{-\kappa t},\quad t_{1/2}=\frac{\ln2}{\kappa},\quad \mathrm{sd}(X_\infty)=\frac{\sigma}{\sqrt{2\kappa}} d X = κ ( θ − X ) d t + σ d W , E [ X t ] = θ + ( X 0 − θ ) e − κ t , t 1/2 = κ ln 2 , sd ( X ∞ ) = 2 κ σ (1) OU過程は3つの数で表せます。θ \theta θ ln 2 / κ \ln2/\kappa ln 2/ κ X X X σ / 2 κ \sigma/\sqrt{2\kappa} σ / 2 κ X X X d r = κ ( θ − r ) d t + σ r d W dr=\kappa(\theta-r)\,dt+\sigma\sqrt r\,dW d r = κ ( θ − r ) d t + σ r d W 2 κ θ ≥ σ 2 2\kappa\theta\ge\sigma^{2} 2 κ θ ≥ σ 2
戻ってくるスプレッド κ = 0.35 \kappa=0.35 κ = 0.35 （1日あたり）のスプレッドの半減期は
ln 2 / 0.35 ≈ 1.98 \ln2/0.35\approx1.98 ln 2/0.35 ≈ 1.98 日なので、ペアトレードは数週間ではなく数日で終わるはずです。
0.08 0.08 0.08 から始まり
θ = 0.04 \theta=0.04 θ = 0.04 、
κ = 0.5 \kappa=0.5 κ = 0.5 （1年あたり）の金利では、2年後の平均は
0.04 + 0.04 e − 1 ≈ 0.0547 0.04+0.04\,e^{-1}\approx0.0547 0.04 + 0.04 e − 1 ≈ 0.0547 で、戻る道のりの約
63 % 63\% 63% を進んだことになります。
OU過程 ：一定の大きさのショックを伴う平均回帰。負になりうる。半減期 ln 2 / κ \ln2/\kappa ln 2/ κ σ / 2 κ \sigma/\sqrt{2\kappa} σ / 2 κ CIR過程 ：ゼロ付近でショックが小さくなり、2 κ θ ≥ σ 2 2\kappa\theta\ge\sigma^{2} 2 κ θ ≥ σ 2 ラボ：採点される内容 半減期 15点 期待される水準 15点 長期の広がり 15点 どの金利が正のままか 15点 用語を結び付ける 15点 OUモデルをデータに当てはめる 10点 なぜスプレッドはOUモデルに合うのか 15点 
