同じ価格への2つの道
オプションの価格付けには2つの方法があります。1つは前のトピックのように、ペイオフをランダムな経路について平均することです。もう1つは偏微分方程式（PDE）を解くことで、価格が時間とともに変わる様子と株価とともに変わる様子を結び付ける式です。ファインマン-カッツの定理は、この2つが同じものだと述べます。ランダムな経路に対するペイオフの平均は、PDEの解です。Q のもとで dS=rSdt+σSdW に従う株では、オプション価値 V(t,S) は、ペイオフ g を終端条件とするブラック-ショールズ方程式を解きます。
∂t∂V+21σ2S2∂S2∂2V+rS∂S∂V−rV=0,V(T,S)=g(S)(1) PDEを文のように読みましょう。∂V/∂t は時間による価値の減少です。∂2V/∂S2 の項は曲率への報酬で、ランダムさがオプションに価値を足しており、この項は (dW)2=dt のために存在します。∂V/∂S の項は株のドリフト、−rV は割引です。ヨーロピアン・コールの解は下のブラック-ショールズ公式で、N は標準正規分布の分布関数です。プットはプット・コール・パリティから得られます。
C=SN(d1)−Ke−rTN(d2),d1=σTln(S/K)+(r+σ2/2)T,d2=d1−σT,C−P=S−Ke−rT(2) アット・ザ・マネーのコールS=K=100、
r=5%、
σ=20%、
T=1 とします。
d1=(0+0.07)/0.2=0.35、
d2=0.15 で、
N(d1)=0.6368、
N(d2)=0.5596 です。価格は
C=100×0.6368−95.12×0.5596≈10.45 です。
N(d1)=0.6368 はコールのデルタでもあり、ヘッジのために持つ株数です。
- ファインマン-カッツ：ランダムな経路に対する平均ペイオフがPDEを解き、PDEからその平均が得られる。
- ブラック-ショールズPDEの項：時間減価、曲率への報酬、ドリフト、割引。
- プット・コール・パリティ：C−P=S−Ke−rT。一方の価格から他方が得られる。
ラボ：採点される内容
- d1 を計算する15点
- コールを価格付けする15点
- プット・コール・パリティ15点
- 関数をPDEに代入する15点
- PDEを解く関数はどれか15点
- PDEを読む10点
- ファインマン-カッツの考え15点
