Feynman-Kac et l'EDP de Black-Scholes

Position dans le parcoursModule 3 sur 5 · Sujet 2 sur 2

3.2 Feynman-Kac et l'EDP de Black-Scholes

—Score du lab— / 100XP total—Série—

Deux chemins vers le même prix

Il y a deux façons de valoriser une option. L'une est de faire la moyenne du gain sur des trajectoires aléatoires, comme au sujet précédent. L'autre est de résoudre une équation aux dérivées partielles (EDP), une équation qui relie la variation du prix dans le temps à sa variation selon le cours de l'action. Le théorème de Feynman-Kac dit que les deux sont identiques : la moyenne d'un gain sur des trajectoires aléatoires est la solution d'une EDP. Pour une action avec $dS=rS\,dt+\sigma S\,dW$ sous $Q$ , la valeur $V(t,S)$ de l'option résout l'EDP de Black-Scholes, avec le gain $g$ comme condition finale.

\frac{\partial V}{\partial t}+\frac12\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0,\qquad V(T,S)=g(S)

(1)

Lisez l'EDP comme une phrase. $\partial V/\partial t$ est l'érosion du temps. Le terme en $\partial^{2}V/\partial S^{2}$ est la récompense de la courbure : le hasard ajoute de la valeur à une option, et ce terme existe parce que $(dW)^{2}=dt$ . Le terme en $\partial V/\partial S$ est la dérive de l'action et $-rV$ est l'actualisation. Pour un call européen, la solution est la formule de Black-Scholes ci-dessous, où $N$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Un put s'en déduit par la parité call-put.

C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T,\qquad C-P=S-Ke^{-rT}

(2)

Un call à la monnaiePrenons

S=K=100

r=5\%

\sigma=20\%

T=1

. Alors

d_1=(0+0{,}07)/0{,}2=0{,}35

d_2=0{,}15

, avec

N(d_1)=0{,}6368

N(d_2)=0{,}5596

. Le prix est

C=100\times0{,}6368-95{,}12\times0{,}5596\approx10{,}45

. Le nombre

N(d_1)=0{,}6368

est aussi le delta du call, le nombre de titres à détenir pour le couvrir.

Feynman-Kac : le gain moyen sur des trajectoires aléatoires résout une EDP, et l'EDP donne cette moyenne.
Termes de l'EDP de Black-Scholes : érosion du temps, récompense de la courbure, dérive et actualisation.
Parité call-put : $C-P=S-Ke^{-rT}$ , donc un prix donne l'autre.

Lab : ce qui est noté

Calculer d115 pts
Valoriser le call15 pts
La parité call-put15 pts
Tester une fonction dans l'EDP15 pts
Quelles fonctions résolvent l'EDP15 pts
Lire l'EDP10 pts
L'idée de Feynman-Kac15 pts

0/ 7 traités

1Réponse numérique15 ptsSans réponse

Pour $S=K=100$ , $r=5\%$ , $\sigma=20\%$ et $T=1$ , que vaut $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T}$ ?

d =

accepté : ± 0.005

2Réponse numérique15 ptsSans réponse

Utilisez $N(d_1)=0{,}6368$ et $N(d_2)=0{,}5596$ avec $S=K=100$ , $r=5\%$ et $T=1$ . Que vaut $C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$ ? Donnez deux décimales.

c =

accepté : ± 0.03

3Réponse numérique15 ptsSans réponse

Un call vaut $C=12$ avec $S=K=100$ , $r=5\%$ et $T=1$ . Utilisez $C-P=S-Ke^{-rT}$ pour trouver la valeur $P$ du put. Donnez deux décimales.

p =

accepté : ± 0.02

4Réponse numérique15 ptsSans réponse

Mettez $V=S^{2}$ dans le membre de gauche de l'EDP, $\partial_t V+\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\partial_{SS}V+rS\,\partial_S V-rV$ . Quel nombre obtenez-vous pour $S=10$ , $\sigma=0{,}2$ et $r=0{,}05$ ? (Ce n'est pas $0$ , donc $S^{2}$ n'est pas un prix.)

v =

accepté : ± 0.01

5Choix15 ptsSans réponse

Lesquelles de ces fonctions sont des prix qui vérifient l'EDP de Black-Scholes ? Choisissez toutes les bonnes réponses.

6Associer10 ptsSans réponse

Associez chaque terme de l'EDP à son sens.

Choisissez le partenaire de chaque élément de gauche.

\partial V/\partial t

\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\,\partial^{2}V/\partial S^{2}

rS\,\partial V/\partial S

-rV

7Expliquer avec des mots15 ptsSans réponse

En une ou deux phrases, expliquez pourquoi valoriser par la moyenne sur des trajectoires aléatoires et valoriser avec l'EDP de Black-Scholes donnent le même nombre.

Noté sur :Le gain moyen sur les trajectoires est une fonction du temps et du prixCette fonction vérifie l'EDP0 / 400 caractères

Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 7 · Ctrl ⏎ pour vérifier

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Deux chemins vers le même prix

\frac{\partial V}{\partial t}+\frac12\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0,\qquad V(T,S)=g(S)

(1)

C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T,\qquad C-P=S-Ke^{-rT}

(2)

Un call à la monnaiePrenons

S=K=100

r=5\%

\sigma=20\%

T=1

. Alors

d_1=(0+0{,}07)/0{,}2=0{,}35

d_2=0{,}15

, avec

N(d_1)=0{,}6368

N(d_2)=0{,}5596

. Le prix est

C=100\times0{,}6368-95{,}12\times0{,}5596\approx10{,}45

. Le nombre

N(d_1)=0{,}6368

est aussi le delta du call, le nombre de titres à détenir pour le couvrir.

Feynman-Kac : le gain moyen sur des trajectoires aléatoires résout une EDP, et l'EDP donne cette moyenne.
Termes de l'EDP de Black-Scholes : érosion du temps, récompense de la courbure, dérive et actualisation.
Parité call-put : $C-P=S-Ke^{-rT}$ , donc un prix donne l'autre.

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Calculer d115 pts
Valoriser le call15 pts
La parité call-put15 pts
Tester une fonction dans l'EDP15 pts
Quelles fonctions résolvent l'EDP15 pts
Lire l'EDP10 pts
L'idée de Feynman-Kac15 pts

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1Réponse numérique15 ptsSans réponse

Pour $S=K=100$ , $r=5\%$ , $\sigma=20\%$ et $T=1$ , que vaut $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T}$ ?

d =

accepté : ± 0.005

2Réponse numérique15 ptsSans réponse

Utilisez $N(d_1)=0{,}6368$ et $N(d_2)=0{,}5596$ avec $S=K=100$ , $r=5\%$ et $T=1$ . Que vaut $C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$ ? Donnez deux décimales.

c =

accepté : ± 0.03

3Réponse numérique15 ptsSans réponse

Un call vaut $C=12$ avec $S=K=100$ , $r=5\%$ et $T=1$ . Utilisez $C-P=S-Ke^{-rT}$ pour trouver la valeur $P$ du put. Donnez deux décimales.

p =

accepté : ± 0.02

4Réponse numérique15 ptsSans réponse

v =

accepté : ± 0.01

5Choix15 ptsSans réponse

Lesquelles de ces fonctions sont des prix qui vérifient l'EDP de Black-Scholes ? Choisissez toutes les bonnes réponses.

6Associer10 ptsSans réponse

Associez chaque terme de l'EDP à son sens.

Choisissez le partenaire de chaque élément de gauche.

\partial V/\partial t

\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\,\partial^{2}V/\partial S^{2}

rS\,\partial V/\partial S

-rV

7Expliquer avec des mots15 ptsSans réponse

En une ou deux phrases, expliquez pourquoi valoriser par la moyenne sur des trajectoires aléatoires et valoriser avec l'EDP de Black-Scholes donnent le même nombre.

Noté sur :Le gain moyen sur les trajectoires est une fonction du temps et du prixCette fonction vérifie l'EDP0 / 400 caractères

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