Feynman-Kac y la EDP de Black-Scholes

Posición en la rutaMódulo 3 de 5 · Tema 2 de 2

3.2 Feynman-Kac y la EDP de Black-Scholes

—Puntuación del lab— / 100XP total—Racha—

Dos caminos al mismo precio

Hay dos formas de valorar una opción. Una es promediar el pago sobre trayectorias aleatorias, como en el tema anterior. La otra es resolver una ecuación en derivadas parciales (EDP), una ecuación que une cómo cambia el precio con el tiempo y cómo cambia con el precio de la acción. El teorema de Feynman-Kac dice que son lo mismo: el promedio de un pago sobre trayectorias aleatorias es la solución de una EDP. Para una acción con $dS=rS\,dt+\sigma S\,dW$ bajo $Q$ , el valor $V(t,S)$ de la opción resuelve la EDP de Black-Scholes, con el pago $g$ como condición final.

\frac{\partial V}{\partial t}+\frac12\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0,\qquad V(T,S)=g(S)

(1)

Lea la EDP como una frase. $\partial V/\partial t$ es el desgaste por el tiempo. El término con $\partial^{2}V/\partial S^{2}$ es la recompensa por la curvatura: el azar añade valor a una opción, y este término existe porque $(dW)^{2}=dt$ . El término con $\partial V/\partial S$ es la deriva de la acción y $-rV$ es el descuento. Para un call europeo la solución es la fórmula de Black-Scholes de abajo, donde $N$ es la función de distribución normal estándar. Un put se obtiene con la paridad call-put.

C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T,\qquad C-P=S-Ke^{-rT}

(2)

Un call en el dineroTome

S=K=100

r=5\%

\sigma=20\%

T=1

. Entonces

d_1=(0+0{,}07)/0{,}2=0{,}35

d_2=0{,}15

, con

N(d_1)=0{,}6368

N(d_2)=0{,}5596

. El precio es

C=100\times0{,}6368-95{,}12\times0{,}5596\approx10{,}45

. El número

N(d_1)=0{,}6368

es también el delta del call, las acciones que se mantienen para cubrirlo.

Feynman-Kac: el pago medio sobre trayectorias aleatorias resuelve una EDP, y la EDP da ese promedio.
Términos de la EDP de Black-Scholes: desgaste temporal, recompensa por curvatura, deriva y descuento.
Paridad call-put: $C-P=S-Ke^{-rT}$ , así que un precio da el otro.

Lab: qué se califica

Calcular d115 pts
Valorar el call15 pts
La paridad call-put15 pts
Probar una función en la EDP15 pts
Qué funciones resuelven la EDP15 pts
Leer la EDP10 pts
La idea de Feynman-Kac15 pts

0/ 7 respondidos

1Respuesta numérica15 ptsSin responder

Para $S=K=100$ , $r=5\%$ , $\sigma=20\%$ y $T=1$ , ¿cuánto vale $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T}$ ?

d =

aceptado: ± 0.005

2Respuesta numérica15 ptsSin responder

Use $N(d_1)=0{,}6368$ y $N(d_2)=0{,}5596$ con $S=K=100$ , $r=5\%$ y $T=1$ . ¿Cuánto vale $C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$ ? Dé dos decimales.

c =

aceptado: ± 0.03

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

Un call vale $C=12$ con $S=K=100$ , $r=5\%$ y $T=1$ . Use $C-P=S-Ke^{-rT}$ para hallar el valor $P$ del put. Dé dos decimales.

p =

aceptado: ± 0.02

4Respuesta numérica15 ptsSin responder

Ponga $V=S^{2}$ en el lado izquierdo de la EDP, $\partial_t V+\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\partial_{SS}V+rS\,\partial_S V-rV$ . ¿Qué número obtiene con $S=10$ , $\sigma=0{,}2$ y $r=0{,}05$ ? (No es $0$ , así que $S^{2}$ no es un precio.)

v =

aceptado: ± 0.01

5Elección15 ptsSin responder

¿Cuáles de estas son precios que cumplen la EDP de Black-Scholes? Elija todas las correctas.

6Emparejar10 ptsSin responder

Empareje cada término de la EDP con su significado.

Elige la pareja de cada elemento de la izquierda.

\partial V/\partial t

\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\,\partial^{2}V/\partial S^{2}

rS\,\partial V/\partial S

-rV

7Explicar con palabras15 ptsSin responder

En una o dos frases, explique por qué valorar promediando sobre trayectorias aleatorias y valorar con la EDP de Black-Scholes dan el mismo número.

Se califica por:El pago medio sobre trayectorias es una función del tiempo y del precioEsa función cumple la EDP0 / 400 caracteres

Modo matemáticasEntrada por teclado o LaTeXEjercicio 1 de 7 · Ctrl ⏎ para comprobar

Feynman-Kac y la EDP de Black-Scholes

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3.2 Feynman-Kac y la EDP de Black-Scholes

—Puntuación del lab— / 100XP total—Racha—

Dos caminos al mismo precio

\frac{\partial V}{\partial t}+\frac12\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0,\qquad V(T,S)=g(S)

(1)

C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T,\qquad C-P=S-Ke^{-rT}

(2)

Un call en el dineroTome

S=K=100

r=5\%

\sigma=20\%

T=1

. Entonces

d_1=(0+0{,}07)/0{,}2=0{,}35

d_2=0{,}15

, con

N(d_1)=0{,}6368

N(d_2)=0{,}5596

. El precio es

C=100\times0{,}6368-95{,}12\times0{,}5596\approx10{,}45

. El número

N(d_1)=0{,}6368

es también el delta del call, las acciones que se mantienen para cubrirlo.

Feynman-Kac: el pago medio sobre trayectorias aleatorias resuelve una EDP, y la EDP da ese promedio.
Términos de la EDP de Black-Scholes: desgaste temporal, recompensa por curvatura, deriva y descuento.
Paridad call-put: $C-P=S-Ke^{-rT}$ , así que un precio da el otro.

Lab: qué se califica

Calcular d115 pts
Valorar el call15 pts
La paridad call-put15 pts
Probar una función en la EDP15 pts
Qué funciones resuelven la EDP15 pts
Leer la EDP10 pts
La idea de Feynman-Kac15 pts

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1Respuesta numérica15 ptsSin responder

Para $S=K=100$ , $r=5\%$ , $\sigma=20\%$ y $T=1$ , ¿cuánto vale $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T}$ ?

d =

aceptado: ± 0.005

2Respuesta numérica15 ptsSin responder

Use $N(d_1)=0{,}6368$ y $N(d_2)=0{,}5596$ con $S=K=100$ , $r=5\%$ y $T=1$ . ¿Cuánto vale $C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$ ? Dé dos decimales.

c =

aceptado: ± 0.03

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

Un call vale $C=12$ con $S=K=100$ , $r=5\%$ y $T=1$ . Use $C-P=S-Ke^{-rT}$ para hallar el valor $P$ del put. Dé dos decimales.

p =

aceptado: ± 0.02

4Respuesta numérica15 ptsSin responder

v =

aceptado: ± 0.01

5Elección15 ptsSin responder

¿Cuáles de estas son precios que cumplen la EDP de Black-Scholes? Elija todas las correctas.

6Emparejar10 ptsSin responder

Empareje cada término de la EDP con su significado.

Elige la pareja de cada elemento de la izquierda.

\partial V/\partial t

\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\,\partial^{2}V/\partial S^{2}

rS\,\partial V/\partial S

-rV

7Explicar con palabras15 ptsSin responder

En una o dos frases, explique por qué valorar promediando sobre trayectorias aleatorias y valorar con la EDP de Black-Scholes dan el mismo número.

Se califica por:El pago medio sobre trayectorias es una función del tiempo y del precioEsa función cumple la EDP0 / 400 caracteres

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