Girsanov y la medida neutral al riesgo

Posición en la rutaMódulo 3 de 5 · Tema 1 de 2

3.1 Girsanov y la medida neutral al riesgo

—Puntuación del lab— / 100XP total—Racha—

Cambiar las probabilidades, no los precios

En el mundo real, con probabilidades $P$ , una acción sigue $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$ . El crecimiento medio $\mu$ es difícil de conocer y cada inversor tiene su opinión. El teorema de Girsanov dice que se pueden reponderar las trayectorias para que la deriva sea la tasa libre de riesgo $r$ , mientras la volatilidad $\sigma$ sigue igual. Los nuevos pesos son la medida neutral al riesgo $Q$ . Se llega desplazando la parte aleatoria: $\tilde W_t=W_t+\theta t$ , donde $\theta=(\mu-r)/\sigma$ es el precio de mercado del riesgo, el rendimiento extra que se gana por unidad de riesgo. Bajo $Q$ el proceso $\tilde W$ es un movimiento browniano simple.

\theta=\frac{\mu-r}{\sigma},\qquad dS=rS\,dt+\sigma S\,d\tilde W,\qquad V_0=e^{-rT}E^{Q}[g(S_T)],\qquad E^{Q}[S_T]=S_0e^{rT}

(1)

¿Para qué? Una opción se puede cubrir con la acción y efectivo, así que su precio no puede depender de cuánto espere usted que crezca la acción. Valorar bajo $Q$ elimina $\mu$ del problema. El precio de hoy es el pago medio bajo $Q$ , descontado a $r$ . Recuerde que $Q$ es una herramienta de cálculo y no un pronóstico: nadie afirma que la acción crezca de verdad a $r$ . Es solo el conjunto de probabilidades con el que funciona la aritmética de la cobertura.

Un mercado de un pasoUna acción a

100

sube a

110

o baja a

90

. El efectivo rinde

2\%

. La probabilidad neutral al riesgo de la subida cumple

q\cdot110+(1-q)\cdot90=102

, así que

q=0{,}6

. Un call con strike

100

paga

10

al alza y

0

a la baja, luego vale

0{,}6\times10/1{,}02\approx5{,}88

. La probabilidad real de subida nunca intervino.

Precio de mercado del riesgo: $\theta=(\mu-r)/\sigma$ , el rendimiento extra por unidad de riesgo.
Girsanov solo cambia la deriva. La volatilidad $\sigma$ es la misma bajo $P$ y bajo $Q$ .
Precio = pago medio descontado bajo $Q$ . $Q$ es una herramienta de valoración, no un pronóstico.

Lab: qué se califica

El precio de mercado del riesgo15 pts
El precio a plazo neutral al riesgo15 pts
La probabilidad neutral al riesgo15 pts
El valor del call15 pts
Qué cambia Girsanov15 pts
Valorar con el método neutral al riesgo10 pts
Por qué el rendimiento real desaparece15 pts

0/ 7 respondidos

1Respuesta numérica15 ptsSin responder

Una acción tiene rendimiento esperado $\mu=8\%$ , volatilidad $\sigma=20\%$ y la tasa libre de riesgo es $r=2\%$ . ¿Cuánto vale $\theta=(\mu-r)/\sigma$ ?

t =

aceptado: ± 0.005

2Respuesta numérica15 ptsSin responder

Una acción vale $S_0=100$ , la tasa es $r=3\%$ y $T=2$ años. ¿Cuánto vale $E^{Q}[S_T]=S_0e^{rT}$ ? Dé dos decimales.

f =

aceptado: ± 0.02

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

Una acción a $100$ sube a $110$ o baja a $90$ y el efectivo rinde $2\%$ . La probabilidad neutral al riesgo $q$ de la subida cumple $q\cdot110+(1-q)\cdot90=102$ . ¿Cuánto vale $q$ ?

q =

aceptado: ± 0.005

4Respuesta numérica15 ptsSin responder

En ese mercado un call con strike $100$ paga $10$ si la acción sube y $0$ si baja. ¿Cuál es su valor hoy, $q\cdot10/1{,}02$ ? Dé dos decimales.

c =

aceptado: ± 0.02

5Elección15 ptsSin responder

Al pasar de la medida real $P$ a la neutral al riesgo $Q$ , ¿qué cambia en la ecuación de la acción?

6Ordenar los pasos10 ptsSin responder

Ponga los pasos en orden.

Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.

1Descontar el promedio a la tasa libre de riesgo
2Reemplazar la deriva por la tasa libre de riesgo
3Escribir el pago al vencimiento
4Promediar el pago sobre las trayectorias

7Explicar con palabras15 ptsSin responder

En una o dos frases, explique por qué el rendimiento esperado $\mu$ de la acción no aparece en el precio de una opción.

Se califica por:La opción se puede cubrir o replicar con acción y efectivoAsí que el precio no depende de mu0 / 400 caracteres

Modo matemáticasEntrada por teclado o LaTeXEjercicio 1 de 7 · Ctrl ⏎ para comprobar

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Cambiar las probabilidades, no los precios

\theta=\frac{\mu-r}{\sigma},\qquad dS=rS\,dt+\sigma S\,d\tilde W,\qquad V_0=e^{-rT}E^{Q}[g(S_T)],\qquad E^{Q}[S_T]=S_0e^{rT}

(1)

Un mercado de un pasoUna acción a

100

sube a

110

o baja a

90

. El efectivo rinde

2\%

. La probabilidad neutral al riesgo de la subida cumple

q\cdot110+(1-q)\cdot90=102

, así que

q=0{,}6

. Un call con strike

100

paga

10

al alza y

0

a la baja, luego vale

0{,}6\times10/1{,}02\approx5{,}88

. La probabilidad real de subida nunca intervino.

Precio de mercado del riesgo: $\theta=(\mu-r)/\sigma$ , el rendimiento extra por unidad de riesgo.
Girsanov solo cambia la deriva. La volatilidad $\sigma$ es la misma bajo $P$ y bajo $Q$ .
Precio = pago medio descontado bajo $Q$ . $Q$ es una herramienta de valoración, no un pronóstico.

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El precio a plazo neutral al riesgo15 pts
La probabilidad neutral al riesgo15 pts
El valor del call15 pts
Qué cambia Girsanov15 pts
Valorar con el método neutral al riesgo10 pts
Por qué el rendimiento real desaparece15 pts

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1Respuesta numérica15 ptsSin responder

Una acción tiene rendimiento esperado $\mu=8\%$ , volatilidad $\sigma=20\%$ y la tasa libre de riesgo es $r=2\%$ . ¿Cuánto vale $\theta=(\mu-r)/\sigma$ ?

t =

aceptado: ± 0.005

2Respuesta numérica15 ptsSin responder

Una acción vale $S_0=100$ , la tasa es $r=3\%$ y $T=2$ años. ¿Cuánto vale $E^{Q}[S_T]=S_0e^{rT}$ ? Dé dos decimales.

f =

aceptado: ± 0.02

3Respuesta numérica15 ptsSin responder

Una acción a $100$ sube a $110$ o baja a $90$ y el efectivo rinde $2\%$ . La probabilidad neutral al riesgo $q$ de la subida cumple $q\cdot110+(1-q)\cdot90=102$ . ¿Cuánto vale $q$ ?

q =

aceptado: ± 0.005

4Respuesta numérica15 ptsSin responder

En ese mercado un call con strike $100$ paga $10$ si la acción sube y $0$ si baja. ¿Cuál es su valor hoy, $q\cdot10/1{,}02$ ? Dé dos decimales.

c =

aceptado: ± 0.02

5Elección15 ptsSin responder

Al pasar de la medida real $P$ a la neutral al riesgo $Q$ , ¿qué cambia en la ecuación de la acción?

6Ordenar los pasos10 ptsSin responder

Ponga los pasos en orden.

Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.

1Descontar el promedio a la tasa libre de riesgo
2Reemplazar la deriva por la tasa libre de riesgo
3Escribir el pago al vencimiento
4Promediar el pago sobre las trayectorias

7Explicar con palabras15 ptsSin responder

En una o dos frases, explique por qué el rendimiento esperado $\mu$ de la acción no aparece en el precio de una opción.

Se califica por:La opción se puede cubrir o replicar con acción y efectivoAsí que el precio no depende de mu0 / 400 caracteres

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