Girsanov und das risikoneutrale Maß

Die Wahrscheinlichkeiten ändern, nicht die Kurse

In der realen Welt mit Wahrscheinlichkeiten $P$ folgt eine Aktie $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$. Das mittlere Wachstum $\mu$ ist schwer zu kennen, und jeder Anleger hat eine andere Meinung. Der Satz von Girsanov sagt, dass man die Pfade so umgewichten kann, dass der Drift der risikofreie Zins $r$ wird, während die Volatilität $\sigma$ gleich bleibt. Die neuen Gewichte sind das risikoneutrale Maß $Q$. Man kommt dorthin, indem man den Zufallsteil verschiebt: $\tilde W_t=W_t+\theta t$, wobei $\theta=(\mu-r)/\sigma$ der Marktpreis des Risikos ist, die Zusatzrendite pro Risikoeinheit. Unter $Q$ ist $\tilde W$ eine einfache Brownsche Bewegung.

Warum das Ganze? Eine Option lässt sich mit der Aktie und Bargeld absichern, ihr Preis kann also nicht davon abhängen, wie stark Sie auf Wachstum der Aktie hoffen. Die Bewertung unter $Q$ nimmt $\mu$ aus dem Problem heraus. Der Preis heute ist die mittlere Auszahlung unter $Q$, diskontiert mit $r$. Bedenken Sie, dass $Q$ ein Rechenwerkzeug und keine Prognose ist: Niemand behauptet, die Aktie wachse wirklich mit $r$. Es ist nur der Satz von Wahrscheinlichkeiten, mit dem die Arithmetik der Absicherung aufgeht.

• Marktpreis des Risikos: $\theta=(\mu-r)/\sigma$, die Zusatzrendite pro Risikoeinheit.
• Girsanov ändert nur den Drift. Die Volatilität $\sigma$ ist unter $P$ und $Q$ gleich.
• Preis = diskontierte mittlere Auszahlung unter $Q$. $Q$ ist ein Bewertungswerkzeug, keine Prognose.

Lab: Was bewertet wird

• Der Marktpreis des Risikos15 Pkt.
• Der risikoneutrale Terminkurs15 Pkt.
• Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit15 Pkt.
• Der Wert des Calls15 Pkt.
• Was Girsanov ändert15 Pkt.
• Bewerten mit der risikoneutralen Methode10 Pkt.
• Warum die echte Rendite wegfällt15 Pkt.