Girsanov et la mesure risque-neutre

Changer les probabilités, pas les prix

Dans le monde réel, avec les probabilités $P$, une action suit $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$. La croissance moyenne $\mu$ est difficile à connaître et chaque investisseur a son avis. Le théorème de Girsanov dit qu'on peut repondérer les trajectoires pour que la dérive devienne le taux sans risque $r$, tandis que la volatilité $\sigma$ reste la même. Les nouveaux poids forment la mesure risque-neutre $Q$. On y arrive en décalant la partie aléatoire : $\tilde W_t=W_t+\theta t$, où $\theta=(\mu-r)/\sigma$ est le prix de marché du risque, le rendement supplémentaire gagné par unité de risque. Sous $Q$, le processus $\tilde W$ est un mouvement brownien simple.

Pourquoi faire cela ? Une option peut être couverte avec l'action et du cash, donc son prix ne peut pas dépendre de la croissance que vous espérez pour l'action. Valoriser sous $Q$ retire $\mu$ du problème. Le prix d'aujourd'hui est le gain moyen sous $Q$, actualisé au taux $r$. Gardez en tête que $Q$ est un outil de calcul et non une prévision : personne ne prétend que l'action croît vraiment à $r$. C'est simplement l'ensemble de probabilités qui fait fonctionner l'arithmétique de la couverture.

• Prix de marché du risque : $\theta=(\mu-r)/\sigma$, le rendement supplémentaire par unité de risque.
• Girsanov ne change que la dérive. La volatilité $\sigma$ est la même sous $P$ et sous $Q$.
• Prix = gain moyen actualisé sous $Q$. $Q$ est un outil de valorisation, pas une prévision.

Lab : ce qui est noté

• Le prix de marché du risque15 pts
• Le prix à terme risque-neutre15 pts
• La probabilité risque-neutre15 pts
• La valeur du call15 pts
• Ce que Girsanov change15 pts
• Valoriser par la méthode risque-neutre10 pts
• Pourquoi le rendement réel disparaît15 pts