جيرسانوف والقياس المحايد للمخاطر

تغيير الاحتمالات لا الأسعار

في العالم الحقيقي وباحتمالات $P$ يتبع السهم $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$. والنمو المتوسط $\mu$ يصعب معرفته ولكل مستثمر رأيه. تقول مبرهنة جيرسانوف إنه يمكن إعادة ترجيح المسارات بحيث يصبح الانجراف هو المعدل الخالي من المخاطر $r$ بينما يبقى التقلب $\sigma$ كما هو. والأوزان الجديدة هي القياس المحايد للمخاطر $Q$. نصل إليه بإزاحة الجزء العشوائي: $\tilde W_t=W_t+\theta t$ حيث $\theta=(\mu-r)/\sigma$ هو سعر السوق للمخاطرة أي العائد الإضافي لكل وحدة مخاطرة. وتحت $Q$ تكون العملية $\tilde W$ حركة براونية بسيطة.

لماذا نفعل ذلك؟ يمكن التحوط للخيار بالسهم والنقد، فلا يجوز أن يعتمد سعره على مقدار نمو السهم الذي تأمله. والتسعير تحت $Q$ يزيل $\mu$ من المسألة. فالسعر اليوم هو متوسط العائد تحت $Q$ مخصومًا بالمعدل $r$. وتذكّر أن $Q$ أداة حساب وليست توقعًا: لا أحد يدّعي أن السهم ينمو فعلًا بالمعدل $r$. إنها فقط مجموعة الاحتمالات التي تجعل حساب التحوط يعمل.

• سعر السوق للمخاطرة: $\theta=(\mu-r)/\sigma$ أي العائد الإضافي لكل وحدة مخاطرة.
• جيرسانوف يغيّر الانجراف فقط. والتقلب $\sigma$ هو نفسه تحت $P$ و$Q$.
• السعر = متوسط العائد المخصوم تحت $Q$. و$Q$ أداة تسعير وليست توقعًا.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• سعر السوق للمخاطرة15 نقطة
• السعر الآجل المحايد للمخاطر15 نقطة
• الاحتمال المحايد للمخاطر15 نقطة
• قيمة خيار الشراء15 نقطة
• ما الذي يغيّره جيرسانوف15 نقطة
• التسعير بالطريقة المحايدة للمخاطر10 نقطة
• لماذا يختفي العائد الحقيقي15 نقطة