Girsanov e a medida neutra ao risco

Mudar as probabilidades, não os preços

No mundo real, com probabilidades $P$, uma ação segue $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$. O crescimento médio $\mu$ é difícil de conhecer e cada investidor tem sua visão. O teorema de Girsanov diz que é possível reponderar as trajetórias para que a deriva seja a taxa livre de risco $r$, enquanto a volatilidade $\sigma$ continua igual. Os novos pesos são a medida neutra ao risco $Q$. Chega-se lá deslocando a parte aleatória: $\tilde W_t=W_t+\theta t$, em que $\theta=(\mu-r)/\sigma$ é o preço de mercado do risco, o retorno extra ganho por unidade de risco. Sob $Q$ o processo $\tilde W$ é um movimento browniano simples.

Por que fazer isso? Uma opção pode ser protegida com a ação e caixa, então seu preço não pode depender do quanto você espera que a ação cresça. Precificar sob $Q$ tira $\mu$ do problema. O preço de hoje é o pagamento médio sob $Q$, descontado a $r$. Lembre que $Q$ é uma ferramenta de cálculo e não uma previsão: ninguém afirma que a ação realmente cresce a $r$. É só o conjunto de probabilidades com o qual a aritmética do hedge funciona.

• Preço de mercado do risco: $\theta=(\mu-r)/\sigma$, o retorno extra por unidade de risco.
• Girsanov muda só a deriva. A volatilidade $\sigma$ é a mesma sob $P$ e sob $Q$.
• Preço = pagamento médio descontado sob $Q$. $Q$ é uma ferramenta de precificação, não uma previsão.

Lab: o que é avaliado

• O preço de mercado do risco15 pts
• O preço a termo neutro ao risco15 pts
• A probabilidade neutra ao risco15 pts
• O valor do call15 pts
• O que Girsanov muda15 pts
• Precificar pelo método neutro ao risco10 pts
• Por que o retorno real desaparece15 pts