Feynman-Kac e a EDP de Black-Scholes

Posição no roteiroMódulo 3 de 5 · Tópico 2 de 2

3.2 Feynman-Kac e a EDP de Black-Scholes

—Nota do lab— / 100XP total—Sequência—

Dois caminhos até o mesmo preço

Há duas formas de precificar uma opção. Uma é tirar a média do pagamento sobre trajetórias aleatórias, como no tópico anterior. A outra é resolver uma equação diferencial parcial (EDP), que liga como o preço muda com o tempo a como muda com o preço da ação. O teorema de Feynman-Kac diz que as duas são o mesmo: a média de um pagamento sobre trajetórias aleatórias é a solução de uma EDP. Para uma ação com $dS=rS\,dt+\sigma S\,dW$ sob $Q$ , o valor $V(t,S)$ da opção resolve a EDP de Black-Scholes, com o pagamento $g$ como condição final.

\frac{\partial V}{\partial t}+\frac12\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0,\qquad V(T,S)=g(S)

(1)

Leia a EDP como uma frase. $\partial V/\partial t$ é o desgaste do tempo. O termo com $\partial^{2}V/\partial S^{2}$ é a recompensa pela curvatura: o acaso agrega valor a uma opção, e esse termo existe porque $(dW)^{2}=dt$ . O termo com $\partial V/\partial S$ é a deriva da ação e $-rV$ é o desconto. Para um call europeu a solução é a fórmula de Black-Scholes abaixo, em que $N$ é a função de distribuição normal padrão. Um put sai da paridade put-call.

C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T,\qquad C-P=S-Ke^{-rT}

(2)

Um call no dinheiroTome

S=K=100

r=5\%

\sigma=20\%

T=1

. Então

d_1=(0+0{,}07)/0{,}2=0{,}35

d_2=0{,}15

, com

N(d_1)=0{,}6368

N(d_2)=0{,}5596

. O preço é

C=100\times0{,}6368-95{,}12\times0{,}5596\approx10{,}45

. O número

N(d_1)=0{,}6368

é também o delta do call, as ações que se mantêm para protegê-lo.

Feynman-Kac: o pagamento médio sobre trajetórias aleatórias resolve uma EDP, e a EDP dá essa média.
Termos da EDP de Black-Scholes: desgaste do tempo, recompensa pela curvatura, deriva e desconto.
Paridade put-call: $C-P=S-Ke^{-rT}$ , então um preço dá o outro.

Lab: o que é avaliado

Calcular d115 pts
Precificar o call15 pts
A paridade put-call15 pts
Testar uma função na EDP15 pts
Quais funções resolvem a EDP15 pts
Ler a EDP10 pts
A ideia de Feynman-Kac15 pts

0/ 7 respondidas

1Resposta numérica15 ptsSem resposta

Para $S=K=100$ , $r=5\%$ , $\sigma=20\%$ e $T=1$ , quanto vale $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T}$ ?

d =

aceito: ± 0.005

2Resposta numérica15 ptsSem resposta

Use $N(d_1)=0{,}6368$ e $N(d_2)=0{,}5596$ com $S=K=100$ , $r=5\%$ e $T=1$ . Quanto vale $C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$ ? Dê duas casas decimais.

c =

aceito: ± 0.03

3Resposta numérica15 ptsSem resposta

Um call vale $C=12$ com $S=K=100$ , $r=5\%$ e $T=1$ . Use $C-P=S-Ke^{-rT}$ para achar o valor $P$ do put. Dê duas casas decimais.

p =

aceito: ± 0.02

4Resposta numérica15 ptsSem resposta

Ponha $V=S^{2}$ no lado esquerdo da EDP, $\partial_t V+\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\partial_{SS}V+rS\,\partial_S V-rV$ . Que número você obtém com $S=10$ , $\sigma=0{,}2$ e $r=0{,}05$ ? (Não é $0$ , então $S^{2}$ não é um preço.)

v =

aceito: ± 0.01

5Escolha15 ptsSem resposta

Quais destas são preços que satisfazem a EDP de Black-Scholes? Escolha todas as corretas.

6Associar10 ptsSem resposta

Associe cada termo da EDP ao seu significado.

Escolha o par de cada item da esquerda.

\partial V/\partial t

\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\,\partial^{2}V/\partial S^{2}

rS\,\partial V/\partial S

-rV

7Explicar com palavras15 ptsSem resposta

Em uma ou duas frases, explique por que precificar pela média sobre trajetórias aleatórias e precificar com a EDP de Black-Scholes dão o mesmo número.

Avaliado por:O pagamento médio sobre trajetórias é uma função do tempo e do preçoEssa função satisfaz a EDP0 / 400 caracteres

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Dois caminhos até o mesmo preço

\frac{\partial V}{\partial t}+\frac12\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0,\qquad V(T,S)=g(S)

(1)

C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T,\qquad C-P=S-Ke^{-rT}

(2)

Um call no dinheiroTome

S=K=100

r=5\%

\sigma=20\%

T=1

. Então

d_1=(0+0{,}07)/0{,}2=0{,}35

d_2=0{,}15

, com

N(d_1)=0{,}6368

N(d_2)=0{,}5596

. O preço é

C=100\times0{,}6368-95{,}12\times0{,}5596\approx10{,}45

. O número

N(d_1)=0{,}6368

é também o delta do call, as ações que se mantêm para protegê-lo.

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Termos da EDP de Black-Scholes: desgaste do tempo, recompensa pela curvatura, deriva e desconto.
Paridade put-call: $C-P=S-Ke^{-rT}$ , então um preço dá o outro.

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Precificar o call15 pts
A paridade put-call15 pts
Testar uma função na EDP15 pts
Quais funções resolvem a EDP15 pts
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1Resposta numérica15 ptsSem resposta

Para $S=K=100$ , $r=5\%$ , $\sigma=20\%$ e $T=1$ , quanto vale $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T}$ ?

d =

aceito: ± 0.005

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Use $N(d_1)=0{,}6368$ e $N(d_2)=0{,}5596$ com $S=K=100$ , $r=5\%$ e $T=1$ . Quanto vale $C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$ ? Dê duas casas decimais.

c =

aceito: ± 0.03

3Resposta numérica15 ptsSem resposta

Um call vale $C=12$ com $S=K=100$ , $r=5\%$ e $T=1$ . Use $C-P=S-Ke^{-rT}$ para achar o valor $P$ do put. Dê duas casas decimais.

p =

aceito: ± 0.02

4Resposta numérica15 ptsSem resposta

v =

aceito: ± 0.01

5Escolha15 ptsSem resposta

Quais destas são preços que satisfazem a EDP de Black-Scholes? Escolha todas as corretas.

6Associar10 ptsSem resposta

Associe cada termo da EDP ao seu significado.

Escolha o par de cada item da esquerda.

\partial V/\partial t

\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\,\partial^{2}V/\partial S^{2}

rS\,\partial V/\partial S

-rV

7Explicar com palavras15 ptsSem resposta

Em uma ou duas frases, explique por que precificar pela média sobre trajetórias aleatórias e precificar com a EDP de Black-Scholes dão o mesmo número.

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