Processos de reversão à média OU e CIR

Preços que são puxados de volta

Um movimento browniano se afasta para sempre. Muitas coisas em finanças não: as taxas de juros, a volatilidade, a diferença entre duas ações relacionadas. Elas são puxadas de volta para um nível de longo prazo. O processo de Ornstein-Uhlenbeck (OU) faz exatamente isso. Em $dX=\kappa(\theta-X)\,dt+\sigma\,dW$ o número $\theta$ é o nível a que volta, $\kappa$ é a velocidade do puxão e $\sigma$ o tamanho dos choques aleatórios. Quanto mais $X$ está acima de $\theta$, mais forte é o puxão para baixo.

Três números descrevem um processo OU. A distância média até $\theta$ cai pela metade a cada $\ln2/\kappa$ unidades de tempo, a meia-vida. No longo prazo $X$ se estabiliza numa faixa com desvio padrão $\sigma/\sqrt{2\kappa}$. E $X$ pode ficar negativo, o que serve para uma diferença mas não para uma taxa de juros ou uma variância. O modelo CIR corrige isso reduzindo os choques perto de zero: $dr=\kappa(\theta-r)\,dt+\sigma\sqrt r\,dW$. A taxa fica positiva quando $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$, a condição de Feller.

• Processo OU: reversão à média com choques de tamanho constante. Pode ficar negativo.
• Meia-vida $\ln2/\kappa$ e dispersão de longo prazo $\sigma/\sqrt{2\kappa}$.
• Processo CIR: os choques diminuem perto de zero, então a taxa fica positiva se $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$.

Lab: o que é avaliado

• A meia-vida15 pts
• O nível esperado15 pts
• A dispersão de longo prazo15 pts
• Quais taxas ficam positivas15 pts
• Associar o vocabulário15 pts
• Ajustar um modelo OU a dados10 pts
• Por que uma diferença combina com um modelo OU15 pts