Saltos: Poisson e Merton

Quando os preços saltam

O movimento browniano avança em passos pequenos, mas os preços reais às vezes saltam: uma surpresa de resultados, uma decisão do banco central, uma queda brusca. Um processo de Poisson conta esses eventos. Ele tem uma taxa $\lambda$ , o número médio de saltos por ano, e a probabilidade de exatamente $k$ saltos no tempo $t$ é $e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}/k!$ . No modelo de Merton a ação segue a difusão habitual e, em cada instante de salto, é multiplicada por um fator aleatório $J$ . Aqui $k=E[J-1]$ é o tamanho médio do salto, e o termo $-\lambda k$ tira a deriva que os saltos acrescentam em média, de modo que o retorno esperado continua $\mu$ .

P(N_t=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!},\quad E[N_t]=\lambda t,\quad \ln J\sim\mathcal N(m,\delta^{2})\Rightarrow k=e^{m+\delta^{2}/2}-1,\quad \mathrm{Var}\big[\ln\tfrac{S_T}{S_0}\big]=\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})

(1)

Os saltos mudam o que um modelo pode fazer. Os retornos ganham caudas grossas: a maioria dos dias lembra a difusão, mas alguns são bem maiores. A variância tem duas fontes, a parte de difusão $\sigma^{2}T$ e a parte de saltos $\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$ . E o hedge fica mais difícil: não se acompanha um salto repentino com pequenas operações na ação, então o preço de uma opção depende da sua visão do risco de salto e não só de $\sigma$ .

Contar saltosCom

\lambda=3

saltos por ano, a probabilidade de nenhum salto em meio ano é

e^{-1{,}5}\approx0{,}2231

e o número esperado de saltos é

1{,}5

. Se

\ln J

é normal com

m=-0{,}05

\delta=0{,}1

, então

k=e^{-0{,}05+0{,}005}-1\approx-0{,}0440

: o salto médio é uma queda de

4{,}4\%

. Com

\sigma=0{,}2

T=1

\lambda=2

a variância do retorno log é

0{,}04+2\times(0{,}0025+0{,}01)=0{,}065

Processo de Poisson: conta saltos à taxa $\lambda$ . O número esperado no tempo $t$ é $\lambda t$ .
Modelo de Merton: difusão mais saltos de tamanho aleatório, com correção de deriva $-\lambda k$ .
Caudas grossas: os saltos acrescentam movimentos grandes raros, e um salto não pode ser totalmente protegido.

Lab: o que é avaliado

Nenhum salto15 pts
O salto médio15 pts
A variância com saltos15 pts
O que os saltos acrescentam15 pts
Associar os símbolos15 pts
Simular uma trajetória com saltos10 pts
Por que os saltos são difíceis de proteger15 pts

Quando os preços saltam

P(N_t=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!},\quad E[N_t]=\lambda t,\quad \ln J\sim\mathcal N(m,\delta^{2})\Rightarrow k=e^{m+\delta^{2}/2}-1,\quad \mathrm{Var}\big[\ln\tfrac{S_T}{S_0}\big]=\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})

(1)

Contar saltosCom

\lambda=3

saltos por ano, a probabilidade de nenhum salto em meio ano é

e^{-1{,}5}\approx0{,}2231

e o número esperado de saltos é

1{,}5

. Se

\ln J

é normal com

m=-0{,}05

\delta=0{,}1

, então

k=e^{-0{,}05+0{,}005}-1\approx-0{,}0440

: o salto médio é uma queda de

4{,}4\%

. Com

\sigma=0{,}2

T=1

\lambda=2

a variância do retorno log é

0{,}04+2\times(0{,}0025+0{,}01)=0{,}065

Processo de Poisson: conta saltos à taxa $\lambda$ . O número esperado no tempo $t$ é $\lambda t$ .
Modelo de Merton: difusão mais saltos de tamanho aleatório, com correção de deriva $-\lambda k$ .
Caudas grossas: os saltos acrescentam movimentos grandes raros, e um salto não pode ser totalmente protegido.

Lab: o que é avaliado

Nenhum salto15 pts
O salto médio15 pts
A variância com saltos15 pts
O que os saltos acrescentam15 pts
Associar os símbolos15 pts
Simular uma trajetória com saltos10 pts
Por que os saltos são difíceis de proteger15 pts

Quando os preços saltam

Lab: o que é avaliado

Entre para executar o seu código.

Saltos: Poisson e Merton

Quando os preços saltam

Lab: o que é avaliado

Entre para executar o seu código.