Sauts : Poisson et Merton

Quand les prix sautent

Le mouvement brownien avance à petits pas, mais les prix réels sautent parfois : une surprise de résultats, une décision de banque centrale, un krach. Un processus de Poisson compte ces événements. Il a un taux $\lambda$ , le nombre moyen de sauts par an, et la probabilité d'avoir exactement $k$ sauts pendant la durée $t$ est $e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}/k!$ . Dans le modèle de Merton, l'action suit la diffusion habituelle et, à chaque instant de saut, elle est multipliée par un facteur aléatoire $J$ . Ici $k=E[J-1]$ est la taille moyenne d'un saut, et le terme $-\lambda k$ retire la dérive que les sauts ajoutent en moyenne, de sorte que le rendement espéré reste $\mu$ .

P(N_t=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!},\quad E[N_t]=\lambda t,\quad \ln J\sim\mathcal N(m,\delta^{2})\Rightarrow k=e^{m+\delta^{2}/2}-1,\quad \mathrm{Var}\big[\ln\tfrac{S_T}{S_0}\big]=\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})

(1)

Les sauts changent ce qu'un modèle peut faire. Les rendements ont des queues épaisses : la plupart des jours ressemblent à la diffusion, mais quelques-uns sont bien plus grands. La variance a deux sources, la partie de diffusion $\sigma^{2}T$ et la partie de sauts $\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$ . Et la couverture devient plus difficile : on ne peut pas suivre un saut soudain avec de petites opérations sur l'action, donc le prix d'une option dépend de votre vision du risque de saut et pas seulement de $\sigma$ .

Compter les sautsAvec

\lambda=3

sauts par an, la probabilité de n'avoir aucun saut en six mois est

e^{-1{,}5}\approx0{,}2231

et le nombre attendu de sauts est

1{,}5

. Si

\ln J

est normal avec

m=-0{,}05

\delta=0{,}1

, alors

k=e^{-0{,}05+0{,}005}-1\approx-0{,}0440

: le saut moyen est une baisse de

4{,}4\%

. Avec

\sigma=0{,}2

T=1

\lambda=2

, la variance du rendement log vaut

0{,}04+2\times(0{,}0025+0{,}01)=0{,}065

Processus de Poisson : compte les sauts au taux $\lambda$ . Le nombre attendu en temps $t$ est $\lambda t$ .
Modèle de Merton : diffusion plus sauts de taille aléatoire, avec une correction de dérive $-\lambda k$ .
Queues épaisses : les sauts ajoutent de rares gros mouvements, et un saut ne peut pas être entièrement couvert.

Lab : ce qui est noté

Aucun saut15 pts
Le saut moyen15 pts
La variance avec sauts15 pts
Ce que les sauts ajoutent15 pts
Associer les symboles15 pts
Simuler une trajectoire à sauts10 pts
Pourquoi les sauts sont difficiles à couvrir15 pts

Quand les prix sautent

P(N_t=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!},\quad E[N_t]=\lambda t,\quad \ln J\sim\mathcal N(m,\delta^{2})\Rightarrow k=e^{m+\delta^{2}/2}-1,\quad \mathrm{Var}\big[\ln\tfrac{S_T}{S_0}\big]=\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})

(1)

Compter les sautsAvec

\lambda=3

sauts par an, la probabilité de n'avoir aucun saut en six mois est

e^{-1{,}5}\approx0{,}2231

et le nombre attendu de sauts est

1{,}5

. Si

\ln J

est normal avec

m=-0{,}05

\delta=0{,}1

, alors

k=e^{-0{,}05+0{,}005}-1\approx-0{,}0440

: le saut moyen est une baisse de

4{,}4\%

. Avec

\sigma=0{,}2

T=1

\lambda=2

, la variance du rendement log vaut

0{,}04+2\times(0{,}0025+0{,}01)=0{,}065

Processus de Poisson : compte les sauts au taux $\lambda$ . Le nombre attendu en temps $t$ est $\lambda t$ .
Modèle de Merton : diffusion plus sauts de taille aléatoire, avec une correction de dérive $-\lambda k$ .
Queues épaisses : les sauts ajoutent de rares gros mouvements, et un saut ne peut pas être entièrement couvert.

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Aucun saut15 pts
Le saut moyen15 pts
La variance avec sauts15 pts
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Associer les symboles15 pts
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