跳跃：泊松与默顿

路线进度模块 4/5 · 主题 2/3

4.2 跳跃：泊松与默顿

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

当价格跳跃时

布朗运动以小步前进，但真实价格有时会跳跃：业绩意外、央行决定、暴跌。泊松过程用来数这类事件。它有一个强度 $\lambda$ ，即每年平均的跳跃次数，在时间 $t$ 内恰好发生 $k$ 次跳跃的概率是 $e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}/k!$ 。在默顿模型中，股票遵循通常的扩散，并在每个跳跃时刻乘以一个随机因子 $J$ 。这里 $k=E[J-1]$ 是平均跳跃幅度， $-\lambda k$ 一项扣回跳跃平均带来的漂移，使期望收益仍为 $\mu$ 。

P(N_t=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!},\quad E[N_t]=\lambda t,\quad \ln J\sim\mathcal N(m,\delta^{2})\Rightarrow k=e^{m+\delta^{2}/2}-1,\quad \mathrm{Var}\big[\ln\tfrac{S_T}{S_0}\big]=\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})

(1)

跳跃改变了模型的能力。收益出现厚尾：多数日子像扩散，但少数日子大得多。方差有两个来源：扩散部分 $\sigma^{2}T$ 和跳跃部分 $\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$ 。对冲也更难：你无法用对股票的小额交易跟上突然的跳跃，所以期权价格不仅取决于 $\sigma$ ，还取决于你对跳跃风险的看法。

数跳跃次数每年

\lambda=3

次跳跃时，半年内没有跳跃的概率是

e^{-1.5}\approx0.2231

，期望跳跃次数为

1.5

。若

\ln J

服从

m=-0.05

、

\delta=0.1

的正态分布，则

k=e^{-0.05+0.005}-1\approx-0.0440

，即平均跳跃是下跌

4.4\%

。当

\sigma=0.2

、

T=1

、

\lambda=2

时，对数收益的方差为

0.04+2\times(0.0025+0.01)=0.065

。

泊松过程：以强度 $\lambda$ 计数跳跃，时间 $t$ 内的期望次数为 $\lambda t$ 。
默顿模型：扩散加随机幅度的跳跃，并有漂移修正 $-\lambda k$ 。
厚尾：跳跃带来罕见的大幅变动，且无法被完全对冲。

实验：评分内容

完全没有跳跃15 分
平均跳跃幅度15 分
含跳跃的方差15 分
跳跃增加了什么15 分
配对符号15 分
模拟含跳跃的路径10 分
为什么跳跃难以对冲15 分

0/ 已答 7 题

1数值作答15 分未作答

跳跃以每年 $\lambda=3$ 的强度出现。在 $t=0.5$ 年内没有任何跳跃的概率 $e^{-\lambda t}$ 是多少？保留四位小数。

p =

允许误差:± 0.0005

2数值作答15 分未作答

跳跃因子 $J$ 的 $\ln J$ 服从均值 $m=-0.05$ 、标准差 $\delta=0.1$ 的正态分布。平均跳跃幅度 $k=e^{m+\delta^{2}/2}-1$ 是多少？保留四位小数。

k =

允许误差:± 0.0005

3数值作答15 分未作答

当 $\sigma=0.2$ 、 $T=1$ 、 $\lambda=2$ 、 $m=-0.05$ 、 $\delta=0.1$ 时，对数收益的方差 $\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$ 是多少？

v =

允许误差:± 0.001

4选择15 分未作答

与简单布朗运动相比，跳跃给收益模型增加了什么？

5配对15 分未作答

把每个符号与其含义配对。

为左侧每一项选择配对项。

\lambda

J

k=E[J-1]

-\lambda k

6排列步骤10 分未作答

把一个时间步内的步骤按正确顺序排列。

拖动以重新排序;也可聚焦某项,按空格抬起,用方向键移动,再按空格放下。

1用扩散因子和跳跃因子乘以价格
2抽取扩散冲击
3抽取该步内的跳跃次数
4为每次跳跃抽取幅度

7用文字解释15 分未作答

用一两句话解释：为什么 Delta 对冲不能完全防范股价的跳跃。

评分依据:跳跃是突然的大幅变动它发生在对冲能再平衡之前，所以剩下风险0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

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4.2 跳跃：泊松与默顿

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当价格跳跃时

P(N_t=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!},\quad E[N_t]=\lambda t,\quad \ln J\sim\mathcal N(m,\delta^{2})\Rightarrow k=e^{m+\delta^{2}/2}-1,\quad \mathrm{Var}\big[\ln\tfrac{S_T}{S_0}\big]=\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})

(1)

数跳跃次数每年

\lambda=3

次跳跃时，半年内没有跳跃的概率是

e^{-1.5}\approx0.2231

，期望跳跃次数为

1.5

。若

\ln J

服从

m=-0.05

、

\delta=0.1

的正态分布，则

k=e^{-0.05+0.005}-1\approx-0.0440

，即平均跳跃是下跌

4.4\%

。当

\sigma=0.2

、

T=1

、

\lambda=2

时，对数收益的方差为

0.04+2\times(0.0025+0.01)=0.065

。

泊松过程：以强度 $\lambda$ 计数跳跃，时间 $t$ 内的期望次数为 $\lambda t$ 。
默顿模型：扩散加随机幅度的跳跃，并有漂移修正 $-\lambda k$ 。
厚尾：跳跃带来罕见的大幅变动，且无法被完全对冲。

实验：评分内容

完全没有跳跃15 分
平均跳跃幅度15 分
含跳跃的方差15 分
跳跃增加了什么15 分
配对符号15 分
模拟含跳跃的路径10 分
为什么跳跃难以对冲15 分

0/ 已答 7 题

1数值作答15 分未作答

跳跃以每年 $\lambda=3$ 的强度出现。在 $t=0.5$ 年内没有任何跳跃的概率 $e^{-\lambda t}$ 是多少？保留四位小数。

p =

允许误差:± 0.0005

2数值作答15 分未作答

跳跃因子 $J$ 的 $\ln J$ 服从均值 $m=-0.05$ 、标准差 $\delta=0.1$ 的正态分布。平均跳跃幅度 $k=e^{m+\delta^{2}/2}-1$ 是多少？保留四位小数。

k =

允许误差:± 0.0005

3数值作答15 分未作答

当 $\sigma=0.2$ 、 $T=1$ 、 $\lambda=2$ 、 $m=-0.05$ 、 $\delta=0.1$ 时，对数收益的方差 $\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$ 是多少？

v =

允许误差:± 0.001

4选择15 分未作答

与简单布朗运动相比，跳跃给收益模型增加了什么？

5配对15 分未作答

把每个符号与其含义配对。

为左侧每一项选择配对项。

\lambda

J

k=E[J-1]

-\lambda k

6排列步骤10 分未作答

把一个时间步内的步骤按正确顺序排列。

拖动以重新排序;也可聚焦某项,按空格抬起,用方向键移动,再按空格放下。

1用扩散因子和跳跃因子乘以价格
2抽取扩散冲击
3抽取该步内的跳跃次数
4为每次跳跃抽取幅度

7用文字解释15 分未作答

用一两句话解释：为什么 Delta 对冲不能完全防范股价的跳跃。

评分依据:跳跃是突然的大幅变动它发生在对冲能再平衡之前，所以剩下风险0 / 400 字

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