القفزات: بواسون وميرتون

عندما تقفز الأسعار

تتحرك الحركة البراونية بخطوات صغيرة، لكن الأسعار الحقيقية تقفز أحيانًا: مفاجأة في الأرباح أو قرار لبنك مركزي أو انهيار. وعملية بواسون تعدّ هذه الأحداث. لها معدل $\lambda$ هو متوسط عدد القفزات في السنة، واحتمال وقوع $k$ قفزة بالضبط في الزمن $t$ هو $e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}/k!$. وفي نموذج ميرتون يتبع السهم الانتشار المعتاد ويُضرب عند كل لحظة قفزة في عامل عشوائي $J$. هنا $k=E[J-1]$ هو متوسط حجم القفزة، والحد $-\lambda k$ يسترد الانجراف الذي تضيفه القفزات في المتوسط ليبقى العائد المتوقع $\mu$.

تغيّر القفزات ما يستطيع النموذج فعله. فتصبح للعوائد أذيال ثقيلة: معظم الأيام تشبه الانتشار لكن قلة منها أكبر بكثير. وللتباين مصدران هما جزء الانتشار $\sigma^{2}T$ وجزء القفزات $\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$. ويصبح التحوط أصعب: لا يمكنك مجاراة قفزة مفاجئة بصفقات صغيرة في السهم، فيعتمد سعر الخيار على رأيك في مخاطر القفز وليس على $\sigma$ وحدها.

• عملية بواسون: تعدّ القفزات بمعدل $\lambda$. والعدد المتوقع في الزمن $t$ هو $\lambda t$.
• نموذج ميرتون: انتشار مع قفزات بحجم عشوائي وتصحيح للانجراف $-\lambda k$.
• الأذيال الثقيلة: تضيف القفزات حركات كبيرة نادرة ولا يمكن التحوط لقفزة بالكامل.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• لا قفزة على الإطلاق15 نقطة
• متوسط القفزة15 نقطة
• التباين مع القفزات15 نقطة
• ما تضيفه القفزات15 نقطة
• طابق الرموز15 نقطة
• محاكاة مسار بقفزات10 نقطة
• لماذا يصعب التحوط للقفزات15 نقطة