ジャンプ：ポアソンとマートン

スキル上の位置モジュール 4/5 · トピック 2/3

4.2 ジャンプ：ポアソンとマートン

—ラボスコア— / 100合計XP—連続日数—

価格が跳ぶとき

ブラウン運動は小さな歩みで動きますが、実際の価格は時々跳びます。決算サプライズ、中央銀行の決定、暴落などです。ポアソン過程はこうした出来事を数えます。レート $\lambda$ は1年あたりの平均ジャンプ回数で、時間 $t$ にちょうど $k$ 回ジャンプする確率は $e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}/k!$ です。マートンモデルでは株は通常の拡散に従い、ジャンプの時点でランダムな因子 $J$ が掛かります。 $k=E[J-1]$ は平均のジャンプの大きさで、 $-\lambda k$ の項はジャンプが平均的に足すドリフトを取り除き、期待リターンを $\mu$ のままにします。

P(N_t=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!},\quad E[N_t]=\lambda t,\quad \ln J\sim\mathcal N(m,\delta^{2})\Rightarrow k=e^{m+\delta^{2}/2}-1,\quad \mathrm{Var}\big[\ln\tfrac{S_T}{S_0}\big]=\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})

(1)

ジャンプはモデルにできることを変えます。リターンの裾が厚くなり、ほとんどの日は拡散のように見えますが、いくつかの日は桁違いに大きくなります。分散には2つの源があり、拡散の部分 $\sigma^{2}T$ とジャンプの部分 $\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$ です。ヘッジも難しくなります。突然のジャンプには株の小さな売買では追いつけないため、オプション価格は $\sigma$ だけでなくジャンプリスクへの見方にも左右されます。

ジャンプを数える

\lambda=3

（年あたりのジャンプ回数）なら、半年に1回もジャンプしない確率は

e^{-1.5}\approx0.2231

、ジャンプ回数の期待値は

1.5

です。

\ln J

が

m=-0.05

、

\delta=0.1

の正規分布なら

k=e^{-0.05+0.005}-1\approx-0.0440

で、平均的なジャンプは

4.4\%

の下落です。

\sigma=0.2

、

T=1

、

\lambda=2

のとき、対数リターンの分散は

0.04+2\times(0.0025+0.01)=0.065

です。

ポアソン過程：レート $\lambda$ でジャンプを数える。時間 $t$ の期待回数は $\lambda t$ 。
マートンモデル：拡散にランダムな大きさのジャンプを加え、ドリフト補正 $-\lambda k$ を入れる。
厚い裾：ジャンプはまれな大きな動きを加え、完全にはヘッジできない。

ラボ：採点される内容

ジャンプなし15点
平均のジャンプ15点
ジャンプ付きの分散15点
ジャンプが加えるもの15点
記号を結び付ける15点
ジャンプ付き経路のシミュレーション10点
なぜジャンプはヘッジしにくいのか15点

0/ 7問回答済み

1数値で答える15点未回答

ジャンプはレート $\lambda=3$ （年あたり）で起きます。 $t=0.5$ 年の間に1回もジャンプしない確率 $e^{-\lambda t}$ はいくつですか。小数第4位まで答えてください。

p =

許容:± 0.0005

2数値で答える15点未回答

ジャンプ因子 $J$ では $\ln J$ が平均 $m=-0.05$ 、標準偏差 $\delta=0.1$ の正規分布です。平均のジャンプの大きさ $k=e^{m+\delta^{2}/2}-1$ はいくつですか。小数第4位まで答えてください。

k =

許容:± 0.0005

3数値で答える15点未回答

$\sigma=0.2$ 、 $T=1$ 、 $\lambda=2$ 、 $m=-0.05$ 、 $\delta=0.1$ のとき、対数リターンの分散 $\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$ はいくつですか。

v =

許容:± 0.001

4選択15点未回答

単純なブラウン運動と比べて、ジャンプはリターンモデルに何を加えますか。

5対応づけ15点未回答

各記号をその意味に結び付けてください。

左の各項目に対応するものを選んでください。

\lambda

J

k=E[J-1]

-\lambda k

6手順を並べ替える10点未回答

1つの時間ステップの手順を正しい順に並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1価格に拡散とジャンプの因子を掛ける
2拡散のショックを引く
3ステップ内のジャンプ回数を引く
4各ジャンプの大きさを引く

7言葉で説明する15点未回答

1〜2文で、デルタヘッジが株価のジャンプに対して完全には守れない理由を説明してください。

採点基準:ジャンプは突然の大きな動きヘッジを調整する前に起きるのでリスクが残る0 / 400文字

数学モードキーボードまたは LaTeX で入力問題1/7 · Ctrl ⏎ で確認

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価格が跳ぶとき

P(N_t=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!},\quad E[N_t]=\lambda t,\quad \ln J\sim\mathcal N(m,\delta^{2})\Rightarrow k=e^{m+\delta^{2}/2}-1,\quad \mathrm{Var}\big[\ln\tfrac{S_T}{S_0}\big]=\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})

(1)

ジャンプを数える

\lambda=3

（年あたりのジャンプ回数）なら、半年に1回もジャンプしない確率は

e^{-1.5}\approx0.2231

、ジャンプ回数の期待値は

1.5

です。

\ln J

が

m=-0.05

、

\delta=0.1

の正規分布なら

k=e^{-0.05+0.005}-1\approx-0.0440

で、平均的なジャンプは

4.4\%

の下落です。

\sigma=0.2

、

T=1

、

\lambda=2

のとき、対数リターンの分散は

0.04+2\times(0.0025+0.01)=0.065

です。

ポアソン過程：レート $\lambda$ でジャンプを数える。時間 $t$ の期待回数は $\lambda t$ 。
マートンモデル：拡散にランダムな大きさのジャンプを加え、ドリフト補正 $-\lambda k$ を入れる。
厚い裾：ジャンプはまれな大きな動きを加え、完全にはヘッジできない。

ラボ：採点される内容

ジャンプなし15点
平均のジャンプ15点
ジャンプ付きの分散15点
ジャンプが加えるもの15点
記号を結び付ける15点
ジャンプ付き経路のシミュレーション10点
なぜジャンプはヘッジしにくいのか15点

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1数値で答える15点未回答

p =

許容:± 0.0005

2数値で答える15点未回答

k =

許容:± 0.0005

3数値で答える15点未回答

$\sigma=0.2$ 、 $T=1$ 、 $\lambda=2$ 、 $m=-0.05$ 、 $\delta=0.1$ のとき、対数リターンの分散 $\sigma^{2}T+\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$ はいくつですか。

v =

許容:± 0.001

4選択15点未回答

単純なブラウン運動と比べて、ジャンプはリターンモデルに何を加えますか。

5対応づけ15点未回答

各記号をその意味に結び付けてください。

左の各項目に対応するものを選んでください。

\lambda

J

k=E[J-1]

-\lambda k

6手順を並べ替える10点未回答

1つの時間ステップの手順を正しい順に並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1価格に拡散とジャンプの因子を掛ける
2拡散のショックを引く
3ステップ内のジャンプ回数を引く
4各ジャンプの大きさを引く

7言葉で説明する15点未回答

1〜2文で、デルタヘッジが株価のジャンプに対して完全には守れない理由を説明してください。

採点基準:ジャンプは突然の大きな動きヘッジを調整する前に起きるのでリスクが残る0 / 400文字

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