ローカル・ボラティリティと確率ボラティリティ

ボラティリティは定数ではない

ブラック-ショールズは1つの一定の $\sigma$ を使います。それが正しければ、ある株のすべてのオプションが同じインプライド・ボラティリティになるはずです。実際の市場ではそうならず、インプライド・ボラティリティは行使価格（スマイルやスキュー）と満期で変わります。これを直す考えが2つあります。ローカル・ボラティリティでは $\sigma(S,t)$ を価格と時間の関数とし、デュピールの公式でその関数を選んで、今日のオプション価格の曲面全体を再現します。確率ボラティリティでは分散 $v$ 自体がランダムな過程です。最も有名な例はヘストンモデルで、分散が長期の水準に引き戻されます。

ヘストンでは分散がCIR過程なので、前のトピックの内容がそのまま当てはまります。分散は速さ $\kappa$ で $\theta$ に引き戻され、$2\kappa\theta\ge\xi^{2}$ なら正のままです。相関 $\rho$ は価格のショックと分散のショックを結び付けます。株では負で、価格が下がるとボラティリティが上がります。これが、低い行使価格ほどインプライド・ボラティリティが高いスキューを生みます。2つの方法は将来についての言い分が違います。ローカル・ボラティリティではボラティリティが価格の関数なので価格と一緒に動きます。確率ボラティリティでは独自のショックがあり、これは市場の姿に近いものです。

• スマイルとスキュー：インプライド・ボラティリティは行使価格と満期で違うので、1つの一定の $\sigma$ では合わない。
• ローカル・ボラティリティ：$\sigma(S,t)$ は価格と時間の関数で、今日のオプション曲面に合わせる。
• 確率ボラティリティ：分散に独自のショックがあり、$\rho<0$ が株のスキューを生む。

ラボ：採点される内容

• 長期のボラティリティ15点
• 期待分散15点
• フェラーの余裕15点
• 相関の符号15点
• 用語を結び付ける15点
• ローカル・ボラティリティモデルを作る10点
• なぜ1つのボラティリティでは足りないのか15点