Volatilidade local e estocástica

A volatilidade não é uma constante

O Black-Scholes usa um único $\sigma$ constante. Se estivesse certo, todas as opções sobre uma ação teriam a mesma volatilidade implícita. Nos mercados reais não é assim: a volatilidade implícita muda com o strike, o sorriso ou skew, e com o vencimento. Duas ideias corrigem isso. Na volatilidade local o número $\sigma(S,t)$ é uma função do preço e do tempo, e a fórmula de Dupire escolhe essa função para o modelo reproduzir toda a superfície de preços de opções de hoje. Na volatilidade estocástica a variância $v$ é ela própria um processo aleatório. O exemplo mais conhecido é o modelo de Heston, em que a variância volta a um nível de longo prazo.

No Heston a variância é um processo CIR, então tudo do tópico anterior vale: ela é puxada a $\theta$ com velocidade $\kappa$ e fica positiva se $2\kappa\theta\ge\xi^{2}$. A correlação $\rho$ liga os choques de preço e de variância. Nas ações ela é negativa: quando o preço cai, a volatilidade sobe. Isso cria o skew, com volatilidade implícita maior para strikes baixos. As duas abordagens diferem no que dizem do futuro. Na volatilidade local a volatilidade é função do preço, então anda em bloco com ele. Na volatilidade estocástica ela tem choques próprios, o que se aproxima mais do que os mercados mostram.

• Sorriso e skew: a volatilidade implícita difere por strike e vencimento, então um único $\sigma$ constante não basta.
• Volatilidade local: $\sigma(S,t)$ é uma função do preço e do tempo, ajustada à superfície de opções de hoje.
• Volatilidade estocástica: a variância tem choques próprios, e $\rho<0$ dá o skew das ações.

Lab: o que é avaliado

• A volatilidade de longo prazo15 pts
• A variância esperada15 pts
• A margem de Feller15 pts
• O sinal da correlação15 pts
• Associar o vocabulário15 pts
• Construir um modelo de volatilidade local10 pts
• Por que uma única volatilidade não basta15 pts