Esquemas de Euler-Maruyama e Milstein

Simular uma equação aleatória

A maioria das equações estocásticas não tem fórmula para a solução, então as simulamos. Corta-se o tempo em passos de tamanho $h$. O esquema de Euler-Maruyama move o estado pela deriva de um passo mais a volatilidade vezes um passo aleatório $\Delta W$, um número normal de média $0$ e variância $h$. Para $dX=a(X)\,dt+b(X)\,dW$ fica $X_{n+1}=X_n+a(X_n)\,h+b(X_n)\,\Delta W$. É a regra mais simples: a versão estocástica do método de Euler.

O esquema de Milstein acrescenta um termo, $\tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h)$. Ele vem da variação quadrática e corrige a parte do erro que Euler ignora. Para o movimento browniano geométrico $b=\sigma x$, então $b\,b'=\sigma^{2}x$. Quão bons são os esquemas? O erro forte mede quão perto cada trajetória simulada está da real: Euler é de ordem $\tfrac12$ (o erro cai como $\sqrt h$) e Milstein de ordem $1$ (como $h$). O erro fraco mede quão perto estão as médias, como um preço de opção: ambos são de ordem $1$. Então, para precificar uma opção europeia, Euler com muitas trajetórias costuma bastar. Para testes de hedge ou produtos dependentes da trajetória, Milstein compensa.

• Euler-Maruyama: a deriva de um passo mais a volatilidade vezes um passo normal. Ordem forte $\tfrac12$.
• Milstein: acrescenta $\tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h)$ e atinge a ordem forte $1$.
• Erro forte e fraco: trajetórias contra médias. Precificar precisa do erro fraco, de ordem $1$ nos dois.

Lab: o que é avaliado

• Um passo de Euler15 pts
• Um passo de Milstein15 pts
• O erro de Euler ao reduzir o passo15 pts
• O erro de Milstein ao reduzir o passo15 pts
• Qual erro importa para precificar15 pts
• Associar o vocabulário10 pts
• Por que Milstein supera Euler15 pts