Schémas d'Euler-Maruyama et de Milstein

Simuler une équation aléatoire

La plupart des équations stochastiques n'ont pas de formule pour leur solution, on les simule donc. On coupe le temps en pas de taille $h$. Le schéma d'Euler-Maruyama déplace l'état de la dérive sur un pas plus la volatilité fois un pas aléatoire $\Delta W$, un nombre normal de moyenne $0$ et de variance $h$. Pour $dX=a(X)\,dt+b(X)\,dW$, cela donne $X_{n+1}=X_n+a(X_n)\,h+b(X_n)\,\Delta W$. C'est la règle la plus simple : la version stochastique de la méthode d'Euler.

Le schéma de Milstein ajoute un terme, $\tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h)$. Il vient de la variation quadratique et corrige la part de l'erreur qu'Euler ignore. Pour le mouvement brownien géométrique, $b=\sigma x$, donc $b\,b'=\sigma^{2}x$. Quelle est la qualité des schémas ? L'erreur forte mesure la proximité de chaque trajectoire simulée avec la vraie : Euler est d'ordre $\tfrac12$ (l'erreur décroît comme $\sqrt h$) et Milstein d'ordre $1$ (comme $h$). L'erreur faible mesure la proximité des moyennes, comme un prix d'option : les deux sont d'ordre $1$. Pour valoriser une option européenne, Euler avec beaucoup de trajectoires suffit donc souvent. Pour des tests de couverture ou des produits dépendant de la trajectoire, Milstein est rentable.

• Euler-Maruyama : la dérive d'un pas plus la volatilité fois un pas normal. Ordre fort $\tfrac12$.
• Milstein : ajoute $\tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h)$ et atteint l'ordre fort $1$.
• Erreur forte et faible : trajectoires contre moyennes. La valorisation demande l'erreur faible, d'ordre $1$ pour les deux.

Lab : ce qui est noté

• Un pas d'Euler15 pts
• Un pas de Milstein15 pts
• L'erreur d'Euler quand on réduit le pas15 pts
• L'erreur de Milstein quand on réduit le pas15 pts
• Quelle erreur compte pour la valorisation15 pts
• Associer le vocabulaire10 pts
• Pourquoi Milstein bat Euler15 pts