D'un modèle à une couverture
Une option vaut ce que coûte sa couverture. Ce lab parcourt toute la chaîne sur les prix de SPY. D'abord, estimez un mouvement brownien géométrique à partir des rendements quotidiens. La volatilité σ est l'écart type des rendements ramené à l'année. La dérive du prix est μ=r̄·252+σ²/2 : le σ²/2 en plus vient du lemme d'Itô, car le log du prix croît plus lentement que le prix. Ensuite, simulez des trajectoires à partir d'une matrice de tirages normaux, une fois avec le schéma exact et une fois avec le schéma d'Euler. Les mêmes tirages alimentent les deux, ce qui permet de les comparer trajectoire par trajectoire.
Ensuite, valorisez un call de deux façons. La formule de Black-Scholes est la moyenne exacte sous la mesure risque-neutre. Le Monte Carlo l'atteint en simulant avec la dérive r, en moyennant le gain et en actualisant. Il n'est jamais exact : il s'écarte d'environ son erreur standard. Enfin, couvrez. Vendez le call, achetez Δ titres et gardez le reste en cash. À chaque date de rééquilibrage, faites croître le cash au taux r, recalculez Δ avec le temps restant et ajustez votre position. L'erreur à l'échéance est ce que la couverture laisse derrière elle.
- Exact et Euler : les mêmes tirages donnent deux trajectoires. L'écart entre elles est l'erreur de discrétisation du sujet précédent.
- Prix = coût de la couverture : avec une négociation continue la couverture est parfaite, avec peu de rééquilibrages il reste une erreur de l'ordre de 1/√n.
- L'erreur réelle est une erreur de volatilité : rééquilibrer plus souvent ne corrige pas un mauvais σ.
Lab : ce qui est noté
- Estimer le modèle10 pts
- Trajectoires exactes15 pts
- Trajectoires d'Euler10 pts
- Le call de Black-Scholes15 pts
- Le delta5 pts
- Prix Monte Carlo10 pts
- La couverture25 pts
- L'étude de couverture10 pts