من نموذج إلى تحوط
قيمة الخيار هي تكلفة التحوط له. يمر هذا المختبر على السلسلة كاملة باستعمال أسعار SPY. أولًا قدّر حركة براونية هندسية من العوائد اليومية. التقلب σ هو الانحراف المعياري للعوائد محوّلًا إلى سنة. وانجراف السعر هو μ=r̄·252+σ²/2: والحد الإضافي σ²/2 يأتي من مبرهنة إيتو لأن لوغاريتم السعر ينمو أبطأ من السعر نفسه. ثم حاكِ المسارات من مصفوفة سحوبات طبيعية، مرة بالمخطط الدقيق ومرة بمخطط أويلر. وتغذي السحوبات نفسها الطريقتين فيمكنك المقارنة مسارًا بمسار.
بعد ذلك سعّر خيار شراء بطريقتين. صيغة بلاك-شولز هي المتوسط الدقيق تحت القياس المحايد للمخاطر. ويصل إليه مونتي كارلو بالمحاكاة بالانجراف r وأخذ متوسط العائد والخصم. وهو لا يكون دقيقًا أبدًا: يبعد بمقدار خطئه المعياري تقريبًا. وأخيرًا تحوّط. بع خيار الشراء واشترِ Δ سهمًا واحتفظ بالباقي نقدًا. وعند كل موعد لإعادة الموازنة دع النقد ينمو بالمعدل r وأعد حساب Δ بالزمن المتبقي واضبط مركزك. والخطأ عند الاستحقاق هو ما يتركه التحوط وراءه.
- الدقيق وأويلر: السحوبات نفسها تعطي مسارين. والفرق بينهما هو خطأ التقطيع في الموضوع السابق.
- السعر = تكلفة التحوط: مع التداول المستمر يكون التحوط كاملًا، ومع عدد قليل من إعادات الموازنة يبقى خطأ من رتبة 1/√n.
- الخطأ الحقيقي خطأ في التقلب: كثرة إعادة الموازنة لا تصلح σ خاطئة.
المختبر: ما الذي يُقيَّم
- تقدير النموذج10 نقطة
- المسارات الدقيقة15 نقطة
- مسارات أويلر10 نقطة
- خيار الشراء عند بلاك-شولز15 نقطة
- دلتا5 نقطة
- سعر مونتي كارلو10 نقطة
- التحوط25 نقطة
- دراسة التحوط10 نقطة