Von einem Modell zu einer Absicherung
Eine Option ist so viel wert, wie ihre Absicherung kostet. Dieses Labor geht die ganze Kette mit SPY-Kursen durch. Zuerst schätzen Sie eine geometrische Brownsche Bewegung aus den Tagesrenditen. Die Volatilität σ ist die auf ein Jahr hochgerechnete Standardabweichung der Renditen. Der Drift des Kurses ist μ=r̄·252+σ²/2: Das zusätzliche σ²/2 kommt aus dem Itô-Lemma, weil der Log-Kurs langsamer wächst als der Kurs selbst. Dann simulieren Sie Pfade aus einer Matrix von Normalziehungen, einmal mit dem exakten und einmal mit dem Euler-Verfahren. Dieselben Ziehungen speisen beide, sodass Sie sie Pfad für Pfad vergleichen können.
Danach bewerten Sie einen Call auf zwei Arten. Die Black-Scholes-Formel ist der exakte Mittelwert unter dem risikoneutralen Maß. Monte Carlo erreicht ihn, indem es mit dem Drift r simuliert, die Auszahlung mittelt und diskontiert. Es ist nie exakt: Es liegt etwa einen Standardfehler daneben. Schließlich sichern Sie ab. Verkaufen Sie den Call, kaufen Sie Δ Aktien und halten Sie den Rest in bar. An jedem Anpassungstermin lassen Sie das Bargeld mit dem Zins r wachsen, berechnen Δ mit der Restzeit neu und passen die Position an. Der Fehler bei Fälligkeit ist das, was die Absicherung übrig lässt.
- Exakt und Euler: Dieselben Ziehungen ergeben zwei Pfade. Der Unterschied ist der Diskretisierungsfehler des letzten Themas.
- Preis = Kosten der Absicherung: Bei stetigem Handel ist sie perfekt, bei wenigen Anpassungen bleibt ein Fehler der Größe 1/√n.
- Der echte Fehler ist ein Volatilitätsfehler: Häufigeres Anpassen behebt kein falsches σ.
Lab: Was bewertet wird
- Das Modell schätzen10 Pkt.
- Exakte Pfade15 Pkt.
- Euler-Pfade10 Pkt.
- Der Black-Scholes-Call15 Pkt.
- Das Delta5 Pkt.
- Monte-Carlo-Preis10 Pkt.
- Die Absicherung25 Pkt.
- Die Absicherungsstudie10 Pkt.