De un modelo a una cobertura
Una opción vale lo que cuesta cubrirla. Este laboratorio recorre toda la cadena con precios de SPY. Primero se estima un movimiento browniano geométrico a partir de los rendimientos diarios. La volatilidad σ es la desviación típica de los rendimientos llevada a un año. La deriva del precio es μ=r̄·252+σ²/2: el σ²/2 extra viene del lema de Itô, porque el log del precio crece más despacio que el precio. Luego se simulan trayectorias a partir de una matriz de valores normales, una vez con el esquema exacto y otra con el de Euler. Los mismos valores alimentan ambos, así que se pueden comparar trayectoria a trayectoria.
A continuación, valore un call de dos maneras. La fórmula de Black-Scholes es el promedio exacto bajo la medida neutral al riesgo. Monte Carlo llega a él simulando con la deriva r, promediando el pago y descontando. Nunca es exacto: se desvía unos errores estándar. Por último, cubra. Venda el call, compre Δ acciones y deje el resto en efectivo. En cada fecha de reequilibrio, deje crecer el efectivo a la tasa r, recalcule Δ con el tiempo restante y ajuste la posición. El error al vencimiento es lo que la cobertura deja atrás.
- Exacto y Euler: los mismos valores dan dos trayectorias. La diferencia es el error de discretización del tema anterior.
- Precio = costo de la cobertura: con operación continua la cobertura es perfecta, con pocos reequilibrios queda un error del orden de 1/√n.
- El error real es un error de volatilidad: reequilibrar más a menudo no corrige un σ equivocado.
Lab: qué se califica
- Estimar el modelo10 pts
- Trayectorias exactas15 pts
- Trayectorias de Euler10 pts
- El call de Black-Scholes15 pts
- El delta5 pts
- Precio Monte Carlo10 pts
- La cobertura25 pts
- El estudio de cobertura10 pts