从模型到对冲
期权的价值就是对冲它的成本。这个实验用 SPY 价格走完整条链条。首先由日收益估计几何布朗运动：波动率 σ 是收益标准差换算到一年；价格的漂移是 μ=r̄·252+σ²/2，多出来的 σ²/2 来自伊藤引理，因为对数价格比价格本身增长得慢。然后用一个正态随机数矩阵模拟路径，分别用精确格式和欧拉格式。同样的随机数同时喂给两者，所以可以逐条路径比较。
Sₖ₊₁=Sₖ e^((μ-σ²/2)h+σ√h z), Sₖ₊₁=Sₖ (1+μh+σ√h z), h=T/n
接下来用两种方法给看涨期权定价。布莱克-斯科尔斯公式是风险中性测度下的精确平均；蒙特卡洛则用漂移 r 模拟，对收益取平均再贴现来逼近它，永远不会精确，大约差一个标准误差。最后做对冲：卖出看涨期权，买入 Δ 股，其余放现金。每个再平衡日，让现金按利率 r 增长，用剩余时间重新计算 Δ 并调整仓位。到期时的误差就是对冲遗留下来的部分。
Vₙ=C₀exp(rT)+ΣⱼΔⱼ₋₁(Sⱼ-Sⱼ₋₁exp(rh))exp(r(T-tⱼ)), e=Vₙ-max(Sₙ-K,0)
真实数据怎么说2005 年以来的 SPY 给出年化 μ≈11.6%、σ≈19.0%。对价格 100、行权价 100、剩余三个月的看涨期权，价值约 4.03，Delta 为 0.54。在模拟市场里，对冲误差的标准差在再平衡 3 次时为 1.79，9 次时 1.08，21 次时 0.70，63 次时 0.44，大致按 1/√n 下降。在 85 个真实季度中则是 1.81、1.71、1.59、1.74：增加再平衡次数并没有帮助。原因是波动率并不恒定：各季度的已实现波动率从 6% 到 70% 不等，而对冲每次都用 19%。
- 精确与欧拉：同样的随机数给出两条路径，它们的差就是上一个主题的离散化误差。
- 价格 = 对冲成本：连续交易时对冲完美，再平衡次数少时会剩下 1/√n 量级的误差。
- 真实误差是波动率误差：增加再平衡次数无法修正错误的 σ。
需要记住的简化利率固定为 2%，没有交易成本和股息。对冲使用的是全样本波动率，这是没有人能事先知道的，所以真实误差如果说有偏差的话是偏乐观。85 个季度数量不多，也不独立于市场状态。这里重要的是结果的排序，而不是具体数额。
实验：评分内容
- 估计模型10 分
- 精确路径15 分
- 欧拉路径10 分
- 布莱克-斯科尔斯看涨期权15 分
- Delta5 分
- 蒙特卡洛价格10 分
- 对冲25 分
- 对冲研究10 分