模拟一个随机方程 大多数随机方程没有解的公式，所以要靠模拟。把时间切成大小为 h h h Δ W \Delta W Δ W 0 0 0 h h h d X = a ( X ) d t + b ( X ) d W dX=a(X)\,dt+b(X)\,dW d X = a ( X ) d t + b ( X ) d W X n + 1 = X n + a ( X n ) h + b ( X n ) Δ W X_{n+1}=X_n+a(X_n)\,h+b(X_n)\,\Delta W X n + 1 = X n + a ( X n ) h + b ( X n ) Δ W
X n + 1 = X n + a ( X n ) h + b ( X n ) Δ W X_{n+1}=X_n+a(X_n)\,h+b(X_n)\,\Delta W X n + 1 = X n + a ( X n ) h + b ( X n ) Δ W (1) 米尔斯坦格式多加了一项 1 2 b b ′ ( Δ W 2 − h ) \tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h) 2 1 b b ′ ( Δ W 2 − h ) b = σ x b=\sigma x b = σ x b b ′ = σ 2 x b\,b'=\sigma^{2}x b b ′ = σ 2 x 1 2 \tfrac12 2 1 h \sqrt h h 1 1 1 h h h 1 1 1
X n + 1 = X n + a h + b Δ W + 1 2 b b ′ ( Δ W 2 − h ) X_{n+1}=X_n+a\,h+b\,\Delta W+\tfrac12\,b\,b'\,(\Delta W^{2}-h) X n + 1 = X n + a h + b Δ W + 2 1 b b ′ ( Δ W 2 − h ) (2) 一步，三个答案 取
x = 100 x=100 x = 100 、
μ = 0.05 \mu=0.05 μ = 0.05 、
σ = 0.2 \sigma=0.2 σ = 0.2 、
h = 0.01 h=0.01 h = 0.01 ，抽到
Δ W = 0.2 \Delta W=0.2 Δ W = 0.2 。欧拉格式给出
100 + 0.05 + 4 = 104.05 100+0.05+4=104.05 100 + 0.05 + 4 = 104.05 。米尔斯坦格式再加
1 2 × 0.04 × 100 × ( 0.04 − 0.01 ) = 0.06 \tfrac12\times0.04\times100\times(0.04-0.01)=0.06 2 1 × 0.04 × 100 × ( 0.04 − 0.01 ) = 0.06 ，得到
104.11 104.11 104.11 。几何布朗运动的精确解是
100 e ( 0.05 − 0.02 ) × 0.01 + 0.2 × 0.2 = 104.1123 100\,e^{(0.05-0.02)\times0.01+0.2\times0.2}=104.1123 100 e ( 0.05 − 0.02 ) × 0.01 + 0.2 × 0.2 = 104.1123 ，米尔斯坦要近得多。
欧拉-丸山 ：一步的漂移加上波动率乘以正态步。强阶为 1 2 \tfrac12 2 1 米尔斯坦 ：加入 1 2 b b ′ ( Δ W 2 − h ) \tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h) 2 1 b b ′ ( Δ W 2 − h ) 1 1 1 强误差与弱误差 ：路径与平均值。定价需要弱误差，两者都是 1 1 1 实验：评分内容 一步欧拉 15 分 一步米尔斯坦 15 分 步长缩小时的欧拉误差 15 分 步长缩小时的米尔斯坦误差 15 分 定价时哪种误差重要 15 分 配对术语 10 分 米尔斯坦为何优于欧拉 15 分 
