مخططا أويلر-ماروياما وميلشتاين

محاكاة معادلة عشوائية

لمعظم المعادلات العشوائية لا توجد صيغة لحلها، فنحاكيها. نقطّع الزمن إلى خطوات حجمها $h$. ويحرّك مخطط أويلر-ماروياما الحالة بانجراف خطوة واحدة مضافًا إليه التقلب مضروبًا في خطوة عشوائية $\Delta W$ وهي عدد طبيعي متوسطه $0$ وتباينه $h$. وللمعادلة $dX=a(X)\,dt+b(X)\,dW$ تكون الصيغة $X_{n+1}=X_n+a(X_n)\,h+b(X_n)\,\Delta W$. إنها أبسط قاعدة: النسخة العشوائية من طريقة أويلر.

يضيف مخطط ميلشتاين حدًا واحدًا هو $\tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h)$. وهو يأتي من التباين التربيعي ويصحح جزء الخطأ الذي يتجاهله أويلر. وفي الحركة البراونية الهندسية $b=\sigma x$ فيكون $b\,b'=\sigma^{2}x$. ما مدى جودة المخططين؟ الخطأ القوي يقيس قرب كل مسار محاكى من المسار الحقيقي: أويلر من الرتبة $\tfrac12$ (يتناقص الخطأ مثل $\sqrt h$) وميلشتاين من الرتبة $1$ (مثل $h$). والخطأ الضعيف يقيس قرب المتوسطات كسعر الخيار: كلاهما من الرتبة $1$. لذا يكفي غالبًا أويلر مع مسارات كثيرة لتسعير خيار أوروبي، ويفيد ميلشتاين في اختبارات التحوط والمنتجات المعتمدة على المسار.

• أويلر-ماروياما: انجراف خطوة مضافًا إليه التقلب مضروبًا في خطوة طبيعية. رتبة قوية $\tfrac12$.
• ميلشتاين: يضيف $\tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h)$ ويبلغ الرتبة القوية $1$.
• الخطأ القوي والضعيف: المسارات مقابل المتوسطات. التسعير يحتاج الخطأ الضعيف وهو من الرتبة $1$ في كليهما.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• خطوة أويلر15 نقطة
• خطوة ميلشتاين15 نقطة
• خطأ أويلر عند تصغير الخطوة15 نقطة
• خطأ ميلشتاين عند تصغير الخطوة15 نقطة
• أي خطأ يهم في التسعير15 نقطة
• طابق المصطلحات10 نقطة
• لماذا يتفوق ميلشتاين على أويلر15 نقطة