Esquemas de Euler-Maruyama y Milstein

Simular una ecuación aleatoria

La mayoría de las ecuaciones estocásticas no tienen una fórmula para su solución, así que se simulan. Se corta el tiempo en pasos de tamaño $h$. El esquema de Euler-Maruyama mueve el estado con la deriva de un paso más la volatilidad por un paso aleatorio $\Delta W$, un número normal de media $0$ y varianza $h$. Para $dX=a(X)\,dt+b(X)\,dW$ queda $X_{n+1}=X_n+a(X_n)\,h+b(X_n)\,\Delta W$. Es la regla más simple: la versión estocástica del método de Euler.

El esquema de Milstein añade un término, $\tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h)$. Viene de la variación cuadrática y corrige la parte del error que Euler ignora. Para el movimiento browniano geométrico $b=\sigma x$, luego $b\,b'=\sigma^{2}x$. ¿Qué tan buenos son los esquemas? El error fuerte mide cuán cerca está cada trayectoria simulada de la real: Euler es de orden $\tfrac12$ (el error baja como $\sqrt h$) y Milstein de orden $1$ (como $h$). El error débil mide cuán cerca están los promedios, como un precio de opción: ambos son de orden $1$. Así que para valorar una opción europea suele bastar Euler con muchas trayectorias. Para pruebas de cobertura o productos dependientes de la trayectoria, Milstein compensa.

• Euler-Maruyama: la deriva de un paso más la volatilidad por un paso normal. Orden fuerte $\tfrac12$.
• Milstein: añade $\tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h)$ y alcanza el orden fuerte $1$.
• Error fuerte y débil: trayectorias frente a promedios. Valorar necesita el error débil, de orden $1$ en ambos.

Lab: qué se califica

• Un paso de Euler15 pts
• Un paso de Milstein15 pts
• El error de Euler al reducir el paso15 pts
• El error de Milstein al reducir el paso15 pts
• Qué error importa para valorar15 pts
• Emparejar el vocabulario10 pts
• Por qué Milstein supera a Euler15 pts