Euler-Maruyama- und Milstein-Verfahren

Eine Zufallsgleichung simulieren

Die meisten stochastischen Gleichungen haben keine Formel für ihre Lösung, daher simuliert man sie. Man teilt die Zeit in Schritte der Größe $h$. Das Euler-Maruyama-Verfahren bewegt den Zustand um den Drift eines Schritts plus Volatilität mal einen Zufallsschritt $\Delta W$, eine normalverteilte Zahl mit Mittelwert $0$ und Varianz $h$. Für $dX=a(X)\,dt+b(X)\,dW$ lautet es $X_{n+1}=X_n+a(X_n)\,h+b(X_n)\,\Delta W$. Es ist die einfachste Regel: die stochastische Version des Euler-Verfahrens.

Das Milstein-Verfahren fügt einen Term hinzu, $\tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h)$. Er stammt aus der quadratischen Variation und korrigiert den Fehleranteil, den Euler ignoriert. Für die geometrische Brownsche Bewegung ist $b=\sigma x$, also $b\,b'=\sigma^{2}x$. Wie gut sind die Verfahren? Der starke Fehler misst, wie nah jeder simulierte Pfad am echten liegt: Euler hat die Ordnung $\tfrac12$ (der Fehler schrumpft wie $\sqrt h$), Milstein die Ordnung $1$ (wie $h$). Der schwache Fehler misst, wie nah Mittelwerte liegen, etwa ein Optionspreis: Beide haben Ordnung $1$. Für eine europäische Option reicht daher meist Euler mit vielen Pfaden. Für Absicherungstests oder pfadabhängige Produkte lohnt sich Milstein.

• Euler-Maruyama: Drift eines Schritts plus Volatilität mal normalverteilter Schritt. Starke Ordnung $\tfrac12$.
• Milstein: fügt $\tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h)$ hinzu und erreicht die starke Ordnung $1$.
• Starker und schwacher Fehler: Pfade gegen Mittelwerte. Die Bewertung braucht den schwachen Fehler, bei beiden von Ordnung $1$.

Lab: Was bewertet wird

• Ein Euler-Schritt15 Pkt.
• Ein Milstein-Schritt15 Pkt.
• Der Euler-Fehler bei kleinerem Schritt15 Pkt.
• Der Milstein-Fehler bei kleinerem Schritt15 Pkt.
• Welcher Fehler für die Bewertung zählt15 Pkt.
• Begriffe zuordnen10 Pkt.
• Warum Milstein Euler schlägt15 Pkt.