確率方程式をシミュレートする 多くの確率方程式は解の公式を持たないので、シミュレーションします。時間を大きさ h h h Δ W \Delta W Δ W 0 0 0 h h h d X = a ( X ) d t + b ( X ) d W dX=a(X)\,dt+b(X)\,dW d X = a ( X ) d t + b ( X ) d W X n + 1 = X n + a ( X n ) h + b ( X n ) Δ W X_{n+1}=X_n+a(X_n)\,h+b(X_n)\,\Delta W X n + 1 = X n + a ( X n ) h + b ( X n ) Δ W
X n + 1 = X n + a ( X n ) h + b ( X n ) Δ W X_{n+1}=X_n+a(X_n)\,h+b(X_n)\,\Delta W X n + 1 = X n + a ( X n ) h + b ( X n ) Δ W (1) ミルシュタイン法は項を1つ加えます：1 2 b b ′ ( Δ W 2 − h ) \tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h) 2 1 b b ′ ( Δ W 2 − h ) b = σ x b=\sigma x b = σ x b b ′ = σ 2 x b\,b'=\sigma^{2}x b b ′ = σ 2 x 1 2 \tfrac12 2 1 h \sqrt h h 1 1 1 h h h 1 1 1
X n + 1 = X n + a h + b Δ W + 1 2 b b ′ ( Δ W 2 − h ) X_{n+1}=X_n+a\,h+b\,\Delta W+\tfrac12\,b\,b'\,(\Delta W^{2}-h) X n + 1 = X n + a h + b Δ W + 2 1 b b ′ ( Δ W 2 − h ) (2) 1ステップ、3つの答え x = 100 x=100 x = 100 、
μ = 0.05 \mu=0.05 μ = 0.05 、
σ = 0.2 \sigma=0.2 σ = 0.2 、
h = 0.01 h=0.01 h = 0.01 で、引いた値を
Δ W = 0.2 \Delta W=0.2 Δ W = 0.2 とします。オイラー法は
100 + 0.05 + 4 = 104.05 100+0.05+4=104.05 100 + 0.05 + 4 = 104.05 。ミルシュタイン法は
1 2 × 0.04 × 100 × ( 0.04 − 0.01 ) = 0.06 \tfrac12\times0.04\times100\times(0.04-0.01)=0.06 2 1 × 0.04 × 100 × ( 0.04 − 0.01 ) = 0.06 を加えて
104.11 104.11 104.11 になります。幾何ブラウン運動の厳密解は
100 e ( 0.05 − 0.02 ) × 0.01 + 0.2 × 0.2 = 104.1123 100\,e^{(0.05-0.02)\times0.01+0.2\times0.2}=104.1123 100 e ( 0.05 − 0.02 ) × 0.01 + 0.2 × 0.2 = 104.1123 で、ミルシュタイン法のほうがずっと近くなります。
オイラー・丸山法 ：1ステップ分のドリフトに、ボラティリティ×正規の一歩を加える。強次数は 1 2 \tfrac12 2 1 ミルシュタイン法 ：1 2 b b ′ ( Δ W 2 − h ) \tfrac12\,b\,b'(\Delta W^{2}-h) 2 1 b b ′ ( Δ W 2 − h ) 1 1 1 強い誤差と弱い誤差 ：経路か平均か。価格付けに必要なのは弱い誤差で、どちらも次数 1 1 1 ラボ：採点される内容 オイラー法の1ステップ 15点 ミルシュタイン法の1ステップ 15点 ステップを小さくしたときのオイラー法の誤差 15点 ステップを小さくしたときのミルシュタイン法の誤差 15点 価格付けでどの誤差が重要か 15点 用語を結び付ける 10点 なぜミルシュタイン法がオイラー法に勝るのか 15点 
