Lokale und stochastische Volatilität

Volatilität ist keine Konstante

Black-Scholes verwendet ein einziges konstantes $\sigma$. Wäre es richtig, hätten alle Optionen auf eine Aktie dieselbe implizite Volatilität. In echten Märkten ist das nicht so: Die implizite Volatilität ändert sich mit dem Strike, dem Smile oder Skew, und mit der Laufzeit. Zwei Ideen beheben das. Bei der lokalen Volatilität ist die Zahl $\sigma(S,t)$ eine Funktion von Kurs und Zeit, und Dupires Formel wählt diese Funktion so, dass das Modell die ganze heutige Fläche der Optionspreise trifft. Bei der stochastischen Volatilität ist die Varianz $v$ selbst ein Zufallsprozess. Das bekannteste Beispiel ist das Heston-Modell, in dem die Varianz zu einem langfristigen Niveau zurückgezogen wird.

Im Heston-Modell ist die Varianz ein CIR-Prozess, daher gilt alles aus dem letzten Thema: Sie wird mit Stärke $\kappa$ zu $\theta$ gezogen und bleibt positiv, wenn $2\kappa\theta\ge\xi^{2}$. Die Korrelation $\rho$ verbindet Kurs- und Varianzschocks. Bei Aktien ist sie negativ: Fällt der Kurs, steigt die Volatilität. Das erzeugt den Skew, mit höherer impliziter Volatilität bei niedrigen Strikes. Die beiden Ansätze unterscheiden sich darin, was sie über die Zukunft sagen. Bei lokaler Volatilität ist die Volatilität eine Funktion des Kurses und bewegt sich im Gleichschritt mit ihm. Bei stochastischer Volatilität hat sie eigene Schocks, was näher an dem liegt, was Märkte zeigen.

• Smile und Skew: Die implizite Volatilität hängt von Strike und Laufzeit ab, ein einziges konstantes $\sigma$ genügt nicht.
• Lokale Volatilität: $\sigma(S,t)$ ist eine Funktion von Kurs und Zeit, angepasst an die heutige Optionsfläche.
• Stochastische Volatilität: Die Varianz hat eigene Schocks, und $\rho<0$ erzeugt den Skew der Aktien.

Lab: Was bewertet wird

• Die langfristige Volatilität15 Pkt.
• Die erwartete Varianz15 Pkt.
• Die Feller-Marge15 Pkt.
• Das Vorzeichen der Korrelation15 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Ein Modell lokaler Volatilität aufbauen10 Pkt.
• Warum eine einzige Volatilität nicht reicht15 Pkt.