局部波动率与随机波动率

波动率不是常数

布莱克-斯科尔斯只用一个常数 $\sigma$ 。如果它是对的，同一只股票的所有期权隐含波动率都应相同。真实市场并非如此：隐含波动率随行权价（微笑或偏斜）和到期日而变化。有两种思路来修正。局部波动率把 $\sigma(S,t)$ 看成价格和时间的函数，由杜皮尔公式选出这个函数，使模型与今天整个期权价格曲面吻合。随机波动率则让方差 $v$ 本身成为随机过程，最有名的例子是赫斯顿模型，其中方差被拉回长期水平。

dS=rS\,dt+\sqrt v\,S\,dW_1,\qquad dv=\kappa(\theta-v)\,dt+\xi\sqrt v\,dW_2,\qquad dW_1\,dW_2=\rho\,dt

(1)

在赫斯顿模型中，方差是 CIR 过程，所以上一个主题的内容都适用：它以速度 $\kappa$ 被拉向 $\theta$ ，当 $2\kappa\theta\ge\xi^{2}$ 时保持为正。相关系数 $\rho$ 把价格冲击和方差冲击联系起来。对股票，它是负的：价格下跌时波动率上升。这就产生了偏斜，即低行权价对应更高的隐含波动率。两种方法对未来的说法不同：局部波动率中，波动率是价格的函数，随价格同步变动；随机波动率中，它有自己的冲击，更接近市场的实际表现。

赫斯顿的数字当

\theta=0.04

时，长期波动率是

\sqrt{0.04}=20\%

。取

\kappa=2

、

\xi=0.3

，有

2\kappa\theta=0.16\ge\xi^{2}=0.09

，方差保持为正。若今天方差为

v_0=0.09

（波动率

30\%

），半年后的期望方差是

0.04+0.05\,e^{-1}\approx0.0584

，波动率约

24\%

：平均而言市场会趋于平静。

微笑与偏斜：隐含波动率随行权价和到期日而异，单个常数 $\sigma$ 无法拟合。
局部波动率： $\sigma(S,t)$ 是价格和时间的函数，按今天的期权曲面校准。
随机波动率：方差有自己的冲击， $\rho<0$ 产生股票的偏斜。

实验：评分内容

长期波动率15 分
期望方差15 分
费勒余量15 分
相关系数的符号15 分
配对术语15 分
构建局部波动率模型10 分
为什么一个波动率不够15 分

波动率不是常数

dS=rS\,dt+\sqrt v\,S\,dW_1,\qquad dv=\kappa(\theta-v)\,dt+\xi\sqrt v\,dW_2,\qquad dW_1\,dW_2=\rho\,dt

(1)

赫斯顿的数字当

\theta=0.04

时，长期波动率是

\sqrt{0.04}=20\%

。取

\kappa=2

、

\xi=0.3

，有

2\kappa\theta=0.16\ge\xi^{2}=0.09

，方差保持为正。若今天方差为

v_0=0.09

（波动率

30\%

），半年后的期望方差是

0.04+0.05\,e^{-1}\approx0.0584

，波动率约

24\%

：平均而言市场会趋于平静。

微笑与偏斜：隐含波动率随行权价和到期日而异，单个常数 $\sigma$ 无法拟合。
局部波动率： $\sigma(S,t)$ 是价格和时间的函数，按今天的期权曲面校准。
随机波动率：方差有自己的冲击， $\rho<0$ 产生股票的偏斜。

实验：评分内容

长期波动率15 分
期望方差15 分
费勒余量15 分
相关系数的符号15 分
配对术语15 分
构建局部波动率模型10 分
为什么一个波动率不够15 分

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