التقلب المحلي والعشوائي

التقلب ليس ثابتًا

يستعمل بلاك-شولز $\sigma$ واحدة ثابتة. ولو كانت صحيحة لكان لكل خيارات السهم التقلب الضمني نفسه. لكن الأسواق الحقيقية ليست كذلك: فالتقلب الضمني يتغير مع سعر التنفيذ وهو الابتسامة أو الانحراف ومع الاستحقاق. وفكرتان تعالجان ذلك. في التقلب المحلي يكون العدد $\sigma(S,t)$ دالة في السعر والزمن، وتختار صيغة دوبير تلك الدالة ليطابق النموذج كل سطح أسعار الخيارات اليوم. وفي التقلب العشوائي يكون التباين $v$ نفسه عملية عشوائية. وأشهر مثال نموذج هيستون الذي يعود فيه التباين إلى مستوى طويل الأجل.

في هيستون يكون التباين عملية CIR فيسري كل ما ورد في الموضوع السابق: يُسحب نحو $\theta$ بسرعة $\kappa$ ويبقى موجبًا إذا كان $2\kappa\theta\ge\xi^{2}$. والارتباط $\rho$ يصل صدمات السعر بصدمات التباين. وفي الأسهم يكون سالبًا: حين ينخفض السعر يرتفع التقلب. وهذا يصنع الانحراف أي تقلبًا ضمنيًا أعلى لأسعار التنفيذ المنخفضة. وتختلف الطريقتان فيما تقولانه عن المستقبل. ففي التقلب المحلي يكون التقلب دالة في السعر فيتحرك معه في خطوة واحدة. وفي التقلب العشوائي له صدماته الخاصة وهذا أقرب إلى ما تُظهره الأسواق.

• الابتسامة والانحراف: يختلف التقلب الضمني باختلاف سعر التنفيذ والاستحقاق فلا يكفي $\sigma$ ثابتة واحدة.
• التقلب المحلي: $\sigma(S,t)$ دالة في السعر والزمن تُضبط على سطح الخيارات اليوم.
• التقلب العشوائي: للتباين صدماته الخاصة، و$\rho<0$ يعطي انحراف الأسهم.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• التقلب طويل الأجل15 نقطة
• التباين المتوقع15 نقطة
• هامش فيلر15 نقطة
• إشارة الارتباط15 نقطة
• طابق المصطلحات15 نقطة
• بناء نموذج تقلب محلي10 نقطة
• لماذا لا تكفي تقلب واحد15 نقطة