Volatilidad local y estocástica

La volatilidad no es una constante

Black-Scholes usa un solo $\sigma$ constante. Si fuera correcto, todas las opciones sobre una acción tendrían la misma volatilidad implícita. En los mercados reales no es así: la volatilidad implícita cambia con el strike, la sonrisa o skew, y con el vencimiento. Dos ideas lo corrigen. En la volatilidad local el número $\sigma(S,t)$ es una función del precio y del tiempo, y la fórmula de Dupire elige esa función para que el modelo reproduzca toda la superficie de precios de opciones de hoy. En la volatilidad estocástica la varianza $v$ es en sí un proceso aleatorio. El ejemplo más conocido es el modelo de Heston, donde la varianza vuelve hacia un nivel de largo plazo.

En Heston la varianza es un proceso CIR, así que todo el tema anterior se aplica: vuelve hacia $\theta$ a velocidad $\kappa$ y se mantiene positiva si $2\kappa\theta\ge\xi^{2}$. La correlación $\rho$ une los choques de precio y de varianza. En acciones es negativa: cuando el precio cae, la volatilidad sube. Eso crea el skew, con mayor volatilidad implícita para los strikes bajos. Los dos enfoques difieren en lo que dicen del futuro. En volatilidad local la volatilidad es función del precio, así que se mueve a la par con él. En volatilidad estocástica tiene sus propios choques, lo que se acerca más a lo que muestran los mercados.

• Sonrisa y skew: la volatilidad implícita difiere según el strike y el vencimiento, así que un solo $\sigma$ constante no basta.
• Volatilidad local: $\sigma(S,t)$ es una función del precio y del tiempo, ajustada a la superficie de opciones de hoy.
• Volatilidad estocástica: la varianza tiene sus propios choques, y $\rho<0$ da el skew de las acciones.

Lab: qué se califica

• La volatilidad de largo plazo15 pts
• La varianza esperada15 pts
• El margen de Feller15 pts
• El signo de la correlación15 pts
• Emparejar el vocabulario15 pts
• Construir un modelo de volatilidad local10 pts
• Por qué una sola volatilidad no basta15 pts