Saltos: Poisson y Merton

Cuando los precios saltan

El movimiento browniano avanza a pasos pequeños, pero los precios reales a veces saltan: una sorpresa de resultados, una decisión del banco central, un desplome. Un proceso de Poisson cuenta esos eventos. Tiene una tasa $\lambda$, el número medio de saltos por año, y la probabilidad de exactamente $k$ saltos en el tiempo $t$ es $e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}/k!$. En el modelo de Merton la acción sigue la difusión habitual y, en cada instante de salto, se multiplica por un factor aleatorio $J$. Aquí $k=E[J-1]$ es el tamaño medio del salto, y el término $-\lambda k$ quita la deriva que los saltos añaden en promedio, de modo que el rendimiento esperado sigue siendo $\mu$.

Los saltos cambian lo que un modelo puede hacer. Los rendimientos tienen colas gruesas: la mayoría de los días se parecen a la difusión, pero unos pocos son mucho mayores. La varianza tiene dos fuentes, la parte de difusión $\sigma^{2}T$ y la parte de saltos $\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$. Y cubrir se vuelve más difícil: no se puede seguir un salto repentino con pequeñas operaciones en la acción, así que el precio de una opción depende de su visión del riesgo de salto y no solo de $\sigma$.

• Proceso de Poisson: cuenta saltos a tasa $\lambda$. El número esperado en el tiempo $t$ es $\lambda t$.
• Modelo de Merton: difusión más saltos de tamaño aleatorio, con una corrección de deriva $-\lambda k$.
• Colas gruesas: los saltos añaden movimientos grandes poco frecuentes, y un salto no se puede cubrir del todo.

Lab: qué se califica

• Ningún salto15 pts
• El salto medio15 pts
• La varianza con saltos15 pts
• Qué añaden los saltos15 pts
• Emparejar los símbolos15 pts
• Simular una trayectoria con saltos10 pts
• Por qué los saltos son difíciles de cubrir15 pts