Procesos con reversión a la media OU y CIR

Precios que vuelven hacia atrás

Un movimiento browniano se aleja para siempre. Muchas cosas en finanzas no: las tasas de interés, la volatilidad, la diferencia entre dos acciones relacionadas. Son atraídas de vuelta hacia un nivel de largo plazo. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck (OU) hace justo eso. En $dX=\kappa(\theta-X)\,dt+\sigma\,dW$ el número $\theta$ es el nivel al que vuelve, $\kappa$ es la velocidad del tirón y $\sigma$ el tamaño de los choques aleatorios. Cuanto más por encima de $\theta$ está $X$, más fuerte es el tirón hacia abajo.

Tres números describen un proceso OU. La distancia media a $\theta$ se reduce a la mitad cada $\ln2/\kappa$ unidades de tiempo, la vida media. A largo plazo $X$ se estabiliza en un rango con desviación típica $\sigma/\sqrt{2\kappa}$. Y $X$ puede volverse negativo, lo cual sirve para una diferencia pero no para una tasa de interés ni una varianza. El modelo CIR lo corrige haciendo los choques más pequeños cerca de cero: $dr=\kappa(\theta-r)\,dt+\sigma\sqrt r\,dW$. La tasa se mantiene positiva si $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$, la condición de Feller.

• Proceso OU: reversión a la media con choques de tamaño constante. Puede volverse negativo.
• Vida media $\ln2/\kappa$ y dispersión de largo plazo $\sigma/\sqrt{2\kappa}$.
• Proceso CIR: los choques se reducen cerca de cero, así que la tasa es positiva si $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$.

Lab: qué se califica

• La vida media15 pts
• El nivel esperado15 pts
• La dispersión de largo plazo15 pts
• Qué tasas se mantienen positivas15 pts
• Emparejar el vocabulario15 pts
• Ajustar un modelo OU a datos10 pts
• Por qué una diferencia encaja en un modelo OU15 pts