Mean-Reversion-Prozesse OU und CIR

Kurse, die zurückgezogen werden

Eine Brownsche Bewegung entfernt sich für immer. Vieles in der Finanzwelt nicht: Zinsen, Volatilität, der Abstand zwischen zwei verwandten Aktien. Sie werden zu einem langfristigen Niveau zurückgezogen. Der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess (OU) tut genau das. In $dX=\kappa(\theta-X)\,dt+\sigma\,dW$ ist $\theta$ das Niveau, zu dem er zurückkehrt, $\kappa$ die Stärke des Zugs und $\sigma$ die Größe der Zufallsschocks. Je weiter $X$ über $\theta$ liegt, desto stärker wird er nach unten gezogen.

Drei Zahlen beschreiben einen OU-Prozess. Der mittlere Abstand zu $\theta$ halbiert sich alle $\ln2/\kappa$ Zeiteinheiten, die Halbwertszeit. Langfristig pendelt sich $X$ in einem Bereich mit Standardabweichung $\sigma/\sqrt{2\kappa}$ ein. Und $X$ kann negativ werden, was für einen Abstand in Ordnung ist, aber nicht für einen Zins oder eine Varianz. Das CIR-Modell behebt das, indem es die Schocks nahe null verkleinert: $dr=\kappa(\theta-r)\,dt+\sigma\sqrt r\,dW$. Der Zins bleibt positiv, wenn $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$ gilt, die Feller-Bedingung.

• OU-Prozess: Mean Reversion mit Schocks konstanter Größe. Er kann negativ werden.
• Halbwertszeit $\ln2/\kappa$ und langfristige Streuung $\sigma/\sqrt{2\kappa}$.
• CIR-Prozess: Die Schocks schrumpfen nahe null, der Zins bleibt positiv, wenn $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$.

Lab: Was bewertet wird

• Die Halbwertszeit15 Pkt.
• Das erwartete Niveau15 Pkt.
• Die langfristige Streuung15 Pkt.
• Welche Zinsen positiv bleiben15 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Ein OU-Modell an Daten anpassen10 Pkt.
• Warum ein Abstand zu einem OU-Modell passt15 Pkt.