Processus à retour à la moyenne OU et CIR

Des prix qui sont ramenés en arrière

Un mouvement brownien s'éloigne pour toujours. Beaucoup de choses en finance ne le font pas : les taux d'intérêt, la volatilité, l'écart entre deux actions liées. Elles sont ramenées vers un niveau de long terme. Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck (OU) fait exactement cela. Dans $dX=\kappa(\theta-X)\,dt+\sigma\,dW$, le nombre $\theta$ est le niveau auquel il revient, $\kappa$ la vitesse du rappel et $\sigma$ la taille des chocs aléatoires. Plus $X$ est au-dessus de $\theta$, plus il est tiré vers le bas.

Trois nombres décrivent un processus OU. La distance moyenne à $\theta$ est divisée par deux tous les $\ln2/\kappa$ unités de temps, la demi-vie. À long terme, $X$ se stabilise dans une plage avec un écart type $\sigma/\sqrt{2\kappa}$. Et $X$ peut devenir négatif, ce qui convient à un écart mais pas à un taux d'intérêt ni à une variance. Le modèle CIR corrige cela en réduisant les chocs près de zéro : $dr=\kappa(\theta-r)\,dt+\sigma\sqrt r\,dW$. Le taux reste positif quand $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$, la condition de Feller.

• Processus OU : retour à la moyenne avec des chocs de taille constante. Il peut devenir négatif.
• Demi-vie $\ln2/\kappa$ et dispersion de long terme $\sigma/\sqrt{2\kappa}$.
• Processus CIR : les chocs diminuent près de zéro, donc le taux reste positif si $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$.

Lab : ce qui est noté

• La demi-vie15 pts
• Le niveau attendu15 pts
• La dispersion de long terme15 pts
• Quels taux restent positifs15 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Ajuster un modèle OU aux données10 pts
• Pourquoi un écart convient à un modèle OU15 pts