عمليات الارتداد إلى المتوسط OU وCIR

أسعار تُسحب إلى الوراء

الحركة البراونية تبتعد إلى الأبد. أما أشياء كثيرة في المالية فلا: أسعار الفائدة والتقلب والفرق بين سهمين مرتبطين. فهي تُسحب إلى مستوى طويل الأجل. وعملية أورنشتاين-أولينبيك (OU) تفعل ذلك تمامًا. ففي $dX=\kappa(\theta-X)\,dt+\sigma\,dW$ العدد $\theta$ هو المستوى الذي تعود إليه و$\kappa$ سرعة السحب و$\sigma$ حجم الصدمات العشوائية. وكلما علا $X$ فوق $\theta$ زاد سحبه إلى الأسفل.

ثلاثة أعداد تصف عملية OU. فالمسافة المتوسطة إلى $\theta$ تتناقص إلى النصف كل $\ln2/\kappa$ وحدة زمن وهي نصف العمر. وعلى المدى الطويل يستقر $X$ في نطاق ثابت انحرافه المعياري $\sigma/\sqrt{2\kappa}$. ويمكن أن يصبح $X$ سالبًا وهذا مقبول لفرق بين سهمين لكنه خطأ لسعر فائدة أو تباين. ويعالج نموذج CIR ذلك بتصغير الصدمات قرب الصفر: $dr=\kappa(\theta-r)\,dt+\sigma\sqrt r\,dW$. ويبقى المعدل موجبًا إذا تحقق $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$ وهو شرط فيلر.

• عملية OU: ارتداد إلى المتوسط بصدمات ثابتة الحجم. يمكن أن تصبح سالبة.
• نصف العمر $\ln2/\kappa$ والانتشار طويل الأجل $\sigma/\sqrt{2\kappa}$.
• عملية CIR: تصغر الصدمات قرب الصفر فيبقى المعدل موجبًا إذا كان $2\kappa\theta\ge\sigma^{2}$.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• نصف العمر15 نقطة
• المستوى المتوقع15 نقطة
• الانتشار طويل الأجل15 نقطة
• أي المعدلات تبقى موجبة15 نقطة
• طابق المصطلحات15 نقطة
• ملاءمة نموذج OU للبيانات10 نقطة
• لماذا يناسب الفرقُ نموذج OU15 نقطة