Sprünge: Poisson und Merton

Wenn Kurse springen

Die Brownsche Bewegung geht in kleinen Schritten, aber echte Kurse springen manchmal: eine Gewinnüberraschung, eine Zentralbankentscheidung, ein Crash. Ein Poisson-Prozess zählt solche Ereignisse. Er hat eine Rate $\lambda$, die mittlere Zahl der Sprünge pro Jahr, und die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Sprünge in der Zeit $t$ ist $e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}/k!$. Im Merton-Modell folgt die Aktie der üblichen Diffusion und wird zu jedem Sprungzeitpunkt mit einem Zufallsfaktor $J$ multipliziert. Dabei ist $k=E[J-1]$ die mittlere Sprunggröße, und der Term $-\lambda k$ nimmt den Drift zurück, den Sprünge im Mittel hinzufügen, sodass die erwartete Rendite $\mu$ bleibt.

Sprünge verändern, was ein Modell kann. Renditen bekommen dicke Ränder: Die meisten Tage ähneln der Diffusion, einige sind aber viel größer. Die Varianz hat zwei Quellen, den Diffusionsanteil $\sigma^{2}T$ und den Sprunganteil $\lambda T(m^{2}+\delta^{2})$. Und die Absicherung wird schwerer: Einem plötzlichen Sprung kann man nicht mit kleinen Aktiengeschäften folgen, der Preis einer Option hängt daher von Ihrer Sicht auf das Sprungrisiko ab und nicht nur von $\sigma$.

• Poisson-Prozess: zählt Sprünge mit Rate $\lambda$. Die erwartete Anzahl in der Zeit $t$ ist $\lambda t$.
• Merton-Modell: Diffusion plus Sprünge zufälliger Größe, mit Driftkorrektur $-\lambda k$.
• Dicke Ränder: Sprünge fügen seltene große Bewegungen hinzu und lassen sich nicht vollständig absichern.

Lab: Was bewertet wird

• Gar kein Sprung15 Pkt.
• Der mittlere Sprung15 Pkt.
• Die Varianz mit Sprüngen15 Pkt.
• Was Sprünge hinzufügen15 Pkt.
• Symbole zuordnen15 Pkt.
• Einen Sprungpfad simulieren10 Pkt.
• Warum Sprünge schwer abzusichern sind15 Pkt.