Feynman-Kac und die Black-Scholes-PDE

Zwei Wege zum selben Preis

Es gibt zwei Wege, eine Option zu bewerten. Der eine ist, die Auszahlung über Zufallspfade zu mitteln, wie im letzten Thema. Der andere ist, eine partielle Differentialgleichung (PDE) zu lösen, die verknüpft, wie sich der Preis mit der Zeit und mit dem Aktienkurs ändert. Der Satz von Feynman-Kac sagt, dass beides dasselbe ist: Der Mittelwert einer Auszahlung über Zufallspfade ist die Lösung einer PDE. Für eine Aktie mit $dS=rS\,dt+\sigma S\,dW$ unter $Q$ löst der Optionswert $V(t,S)$ die Black-Scholes-PDE mit der Auszahlung $g$ als Endbedingung.

Lesen Sie die PDE wie einen Satz. $\partial V/\partial t$ ist der Zeitwertverfall. Der Term mit $\partial^{2}V/\partial S^{2}$ ist die Belohnung für Krümmung: Zufall fügt einer Option Wert hinzu, und dieser Term existiert, weil $(dW)^{2}=dt$ gilt. Der Term mit $\partial V/\partial S$ ist der Drift der Aktie, und $-rV$ ist die Diskontierung. Für einen europäischen Call ist die Lösung die Black-Scholes-Formel unten, wobei $N$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Ein Put folgt aus der Put-Call-Parität.

• Feynman-Kac: Die mittlere Auszahlung über Zufallspfade löst eine PDE, und die PDE liefert diesen Mittelwert.
• Terme der Black-Scholes-PDE: Zeitwertverfall, Belohnung für Krümmung, Drift und Diskontierung.
• Put-Call-Parität: $C-P=S-Ke^{-rT}$, ein Preis liefert also den anderen.

Lab: Was bewertet wird

• d1 berechnen15 Pkt.
• Den Call bewerten15 Pkt.
• Die Put-Call-Parität15 Pkt.
• Eine Funktion in die PDE einsetzen15 Pkt.
• Welche Funktionen die PDE lösen15 Pkt.
• Die PDE lesen10 Pkt.
• Die Idee von Feynman-Kac15 Pkt.