费曼-卡茨与布莱克-斯科尔斯偏微分方程

路线进度模块 3/5 · 主题 2/2

3.2 费曼-卡茨与布莱克-斯科尔斯偏微分方程

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

通往同一价格的两条路

给期权定价有两条路。一条是像上一个主题那样，对随机路径上的收益取平均；另一条是解偏微分方程（PDE），这个方程把价格随时间的变化与随股价的变化联系起来。费曼-卡茨定理说两者是一回事：随机路径上收益的平均值就是某个偏微分方程的解。对于在 $Q$ 下服从 $dS=rS\,dt+\sigma S\,dW$ 的股票，期权价值 $V(t,S)$ 满足布莱克-斯科尔斯偏微分方程，终端条件是收益 $g$ 。

\frac{\partial V}{\partial t}+\frac12\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0,\qquad V(T,S)=g(S)

(1)

把偏微分方程读成一句话。 $\partial V/\partial t$ 是时间损耗。含 $\partial^{2}V/\partial S^{2}$ 的项是对曲率的回报：随机性给期权增加价值，这一项的存在正是因为 $(dW)^{2}=dt$ 。含 $\partial V/\partial S$ 的项是股票的漂移， $-rV$ 是贴现。欧式看涨期权的解就是下面的布莱克-斯科尔斯公式，其中 $N$ 是标准正态分布函数。看跌期权由看涨看跌平价得到。

C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T,\qquad C-P=S-Ke^{-rT}

(2)

平价看涨期权取

S=K=100

、

r=5\%

、

\sigma=20\%

、

T=1

。则

d_1=(0+0.07)/0.2=0.35

，

d_2=0.15

，

N(d_1)=0.6368

，

N(d_2)=0.5596

。价格为

C=100\times0.6368-95.12\times0.5596\approx10.45

。

N(d_1)=0.6368

同时也是看涨期权的 Delta，即对冲它所需持有的股数。

费曼-卡茨：随机路径上的平均收益满足一个偏微分方程，解这个方程就得到该平均值。
布莱克-斯科尔斯方程的各项：时间损耗、曲率回报、漂移与贴现。
看涨看跌平价： $C-P=S-Ke^{-rT}$ ，知道一个价格就能得到另一个。

实验：评分内容

计算 d115 分
给看涨期权定价15 分
看涨看跌平价15 分
把函数代入方程15 分
哪些函数满足方程15 分
读懂方程10 分
费曼-卡茨的思想15 分

0/ 已答 7 题

1数值作答15 分未作答

当 $S=K=100$ 、 $r=5\%$ 、 $\sigma=20\%$ 、 $T=1$ 时， $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T}$ 是多少？

d =

允许误差:± 0.005

2数值作答15 分未作答

取 $S=K=100$ 、 $r=5\%$ 、 $T=1$ ，并使用 $N(d_1)=0.6368$ 与 $N(d_2)=0.5596$ 。 $C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$ 是多少？保留两位小数。

c =

允许误差:± 0.03

3数值作答15 分未作答

看涨期权价值 $C=12$ ， $S=K=100$ ， $r=5\%$ ， $T=1$ 。用 $C-P=S-Ke^{-rT}$ 求看跌期权价值 $P$ 。保留两位小数。

p =

允许误差:± 0.02

4数值作答15 分未作答

把 $V=S^{2}$ 代入方程左边 $\partial_t V+\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\partial_{SS}V+rS\,\partial_S V-rV$ 。在 $S=10$ 、 $\sigma=0.2$ 、 $r=0.05$ 时得到多少？（结果不为 $0$ ，所以 $S^{2}$ 不是价格。）

v =

允许误差:± 0.01

5选择15 分未作答

下列哪些是满足布莱克-斯科尔斯方程的价格？选出所有正确项。

6配对10 分未作答

把方程的每一项与其含义配对。

为左侧每一项选择配对项。

\partial V/\partial t

\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\,\partial^{2}V/\partial S^{2}

rS\,\partial V/\partial S

-rV

7用文字解释15 分未作答

用一两句话解释：为什么对随机路径取平均定价和用布莱克-斯科尔斯方程定价会得到同一个数。

评分依据:路径上的平均收益是时间和价格的函数该函数满足方程0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

费曼-卡茨与布莱克-斯科尔斯偏微分方程

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3.2 费曼-卡茨与布莱克-斯科尔斯偏微分方程

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

通往同一价格的两条路

\frac{\partial V}{\partial t}+\frac12\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}V}{\partial S^{2}}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0,\qquad V(T,S)=g(S)

(1)

C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt T,\qquad C-P=S-Ke^{-rT}

(2)

平价看涨期权取

S=K=100

、

r=5\%

、

\sigma=20\%

、

T=1

。则

d_1=(0+0.07)/0.2=0.35

，

d_2=0.15

，

N(d_1)=0.6368

，

N(d_2)=0.5596

。价格为

C=100\times0.6368-95.12\times0.5596\approx10.45

。

N(d_1)=0.6368

同时也是看涨期权的 Delta，即对冲它所需持有的股数。

费曼-卡茨：随机路径上的平均收益满足一个偏微分方程，解这个方程就得到该平均值。
布莱克-斯科尔斯方程的各项：时间损耗、曲率回报、漂移与贴现。
看涨看跌平价： $C-P=S-Ke^{-rT}$ ，知道一个价格就能得到另一个。

实验：评分内容

计算 d115 分
给看涨期权定价15 分
看涨看跌平价15 分
把函数代入方程15 分
哪些函数满足方程15 分
读懂方程10 分
费曼-卡茨的思想15 分

0/ 已答 7 题

1数值作答15 分未作答

当 $S=K=100$ 、 $r=5\%$ 、 $\sigma=20\%$ 、 $T=1$ 时， $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^{2}/2)T}{\sigma\sqrt T}$ 是多少？

d =

允许误差:± 0.005

2数值作答15 分未作答

取 $S=K=100$ 、 $r=5\%$ 、 $T=1$ ，并使用 $N(d_1)=0.6368$ 与 $N(d_2)=0.5596$ 。 $C=S\,N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$ 是多少？保留两位小数。

c =

允许误差:± 0.03

3数值作答15 分未作答

看涨期权价值 $C=12$ ， $S=K=100$ ， $r=5\%$ ， $T=1$ 。用 $C-P=S-Ke^{-rT}$ 求看跌期权价值 $P$ 。保留两位小数。

p =

允许误差:± 0.02

4数值作答15 分未作答

v =

允许误差:± 0.01

5选择15 分未作答

下列哪些是满足布莱克-斯科尔斯方程的价格？选出所有正确项。

6配对10 分未作答

把方程的每一项与其含义配对。

为左侧每一项选择配对项。

\partial V/\partial t

\tfrac12\sigma^{2}S^{2}\,\partial^{2}V/\partial S^{2}

rS\,\partial V/\partial S

-rV

7用文字解释15 分未作答

用一两句话解释：为什么对随机路径取平均定价和用布莱克-斯科尔斯方程定价会得到同一个数。

评分依据:路径上的平均收益是时间和价格的函数该函数满足方程0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

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