改变概率而不是价格
在现实世界的概率 P 下，股票服从 dS=μSdt+σSdW。平均增长率 μ 很难知道，每位投资者看法也不同。吉尔萨诺夫定理说，可以给路径重新赋权，使漂移变成无风险利率 r，而波动率 σ 不变。新的权重就是风险中性测度 Q。做法是平移随机部分：W~t=Wt+θt，其中 θ=(μ−r)/σ 是风险的市场价格，即每单位风险多赚的收益。在 Q 下，W~ 是一个简单的布朗运动。
θ=σμ−r,dS=rSdt+σSdW~,V0=e−rTEQ[g(ST)],EQ[ST]=S0erT(1) 为什么要这样做？期权可以用股票和现金对冲，所以它的价格不能取决于你期望股票增长多少。在 Q 下定价，就把 μ 从问题中去掉了。今天的价格是 Q 下的平均收益按 r 贴现。请记住，Q 是计算工具而不是预测：没有人说股票真的以 r 增长，它只是让对冲算术成立的一组概率。
一步市场价格
100 的股票会涨到
110 或跌到
90，现金增值
2%。上涨的风险中性概率满足
q⋅110+(1−q)⋅90=102，所以
q=0.6。行权价
100 的看涨期权上涨时付
10、下跌时付
0，价值为
0.6×10/1.02≈5.88。真实的上涨概率从未参与计算。
- 风险的市场价格：θ=(μ−r)/σ，每单位风险的超额收益。
- 吉尔萨诺夫只改变漂移，波动率 σ 在 P 和 Q 下相同。
- 价格 = Q 下平均收益的贴现值。Q 是定价工具，不是预测。
实验：评分内容
- 风险的市场价格15 分
- 风险中性远期价格15 分
- 风险中性概率15 分
- 看涨期权的价值15 分
- 吉尔萨诺夫改变了什么15 分
- 用风险中性方法定价10 分
- 为什么真实收益会消失15 分
