ギルサノフとリスク中立測度

スキル上の位置モジュール 3/5 · トピック 1/2

3.1 ギルサノフとリスク中立測度

—ラボスコア— / 100合計XP—連続日数—

価格ではなく確率を変える

実世界の確率 $P$ のもとで、株は $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$ に従います。平均成長率 $\mu$ は知りにくく、投資家ごとに見方が違います。ギルサノフの定理は、経路の重みを付け替えて、ドリフトを無リスク金利 $r$ にでき、ボラティリティ $\sigma$ はそのままだと述べます。新しい重みがリスク中立測度 $Q$ です。ランダム部分をずらして $\tilde W_t=W_t+\theta t$ とします。 $\theta=(\mu-r)/\sigma$ は市場のリスク価格で、リスク1単位あたりの超過リターンです。 $Q$ のもとで $\tilde W$ は単純なブラウン運動になります。

\theta=\frac{\mu-r}{\sigma},\qquad dS=rS\,dt+\sigma S\,d\tilde W,\qquad V_0=e^{-rT}E^{Q}[g(S_T)],\qquad E^{Q}[S_T]=S_0e^{rT}

(1)

なぜこうするのでしょうか。オプションは株と現金でヘッジできるので、価格は株の成長への期待には依存できません。 $Q$ のもとで価格付けすると、 $\mu$ が問題から消えます。今日の価格は、 $Q$ のもとでの平均ペイオフを $r$ で割り引いたものです。 $Q$ は計算の道具であり予測ではないことに注意してください。株が本当に $r$ で伸びると主張する人はいません。ヘッジの計算がうまく合うための確率の組にすぎません。

1ステップの市場

100

の株が

110

か

90

になり、現金は

2\%

増えます。上昇のリスク中立確率は

q\cdot110+(1-q)\cdot90=102

を満たし、

q=0.6

です。行使価格

100

のコールは上昇時に

10

、下落時に

0

を払うので、価値は

0.6\times10/1.02\approx5.88

です。本当の上昇確率は一度も出てきません。

リスクの市場価格： $\theta=(\mu-r)/\sigma$ 。リスク1単位あたりの超過リターン。
ギルサノフが変えるのはドリフトだけ。ボラティリティ $\sigma$ は $P$ でも $Q$ でも同じ。
価格＝ $Q$ のもとでの平均ペイオフの割引現在値。 $Q$ は価格付けの道具で予測ではない。

ラボ：採点される内容

リスクの市場価格15点
リスク中立の先渡価格15点
リスク中立確率15点
コールの価値15点
ギルサノフが変えるもの15点
リスク中立法で価格付けする10点
実際のリターンが消える理由15点

0/ 7問回答済み

1数値で答える15点未回答

ある株の期待リターンは $\mu=8\%$ 、ボラティリティは $\sigma=20\%$ 、無リスク金利は $r=2\%$ です。 $\theta=(\mu-r)/\sigma$ はいくつですか。

t =

許容:± 0.005

2数値で答える15点未回答

株価は $S_0=100$ 、金利は $r=3\%$ 、 $T=2$ 年です。 $E^{Q}[S_T]=S_0e^{rT}$ はいくつですか。小数第2位まで答えてください。

f =

許容:± 0.02

3数値で答える15点未回答

$100$ の株が $110$ か $90$ になり、現金は $2\%$ 増えます。上昇のリスク中立確率 $q$ は $q\cdot110+(1-q)\cdot90=102$ を満たします。 $q$ はいくつですか。

q =

許容:± 0.005

4数値で答える15点未回答

この市場で、行使価格 $100$ のコールは株が上がれば $10$ 、下がれば $0$ を払います。今日の価値 $q\cdot10/1.02$ はいくつですか。小数第2位まで答えてください。

c =

許容:± 0.02

5選択15点未回答

実世界の測度 $P$ からリスク中立測度 $Q$ に移ると、株の式の何が変わりますか。

6手順を並べ替える10点未回答

手順を正しい順に並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1平均を無リスク金利で割り引く
2ドリフトを無リスク金利に置き換える
3満期のペイオフを書く
4ペイオフを経路について平均する

7言葉で説明する15点未回答

1〜2文で、株の期待リターン $\mu$ がオプション価格に現れない理由を説明してください。

採点基準:オプションは株と現金でヘッジ・複製できるだから価格は mu に依存しない0 / 400文字

数学モードキーボードまたは LaTeX で入力問題1/7 · Ctrl ⏎ で確認

ギルサノフとリスク中立測度

スキル上の位置モジュール 3/5 · トピック 1/2

3.1 ギルサノフとリスク中立測度

—ラボスコア— / 100合計XP—連続日数—

価格ではなく確率を変える

\theta=\frac{\mu-r}{\sigma},\qquad dS=rS\,dt+\sigma S\,d\tilde W,\qquad V_0=e^{-rT}E^{Q}[g(S_T)],\qquad E^{Q}[S_T]=S_0e^{rT}

(1)

1ステップの市場

100

の株が

110

か

90

になり、現金は

2\%

増えます。上昇のリスク中立確率は

q\cdot110+(1-q)\cdot90=102

を満たし、

q=0.6

です。行使価格

100

のコールは上昇時に

10

、下落時に

0

を払うので、価値は

0.6\times10/1.02\approx5.88

です。本当の上昇確率は一度も出てきません。

リスクの市場価格： $\theta=(\mu-r)/\sigma$ 。リスク1単位あたりの超過リターン。
ギルサノフが変えるのはドリフトだけ。ボラティリティ $\sigma$ は $P$ でも $Q$ でも同じ。
価格＝ $Q$ のもとでの平均ペイオフの割引現在値。 $Q$ は価格付けの道具で予測ではない。

ラボ：採点される内容

リスクの市場価格15点
リスク中立の先渡価格15点
リスク中立確率15点
コールの価値15点
ギルサノフが変えるもの15点
リスク中立法で価格付けする10点
実際のリターンが消える理由15点

0/ 7問回答済み

1数値で答える15点未回答

ある株の期待リターンは $\mu=8\%$ 、ボラティリティは $\sigma=20\%$ 、無リスク金利は $r=2\%$ です。 $\theta=(\mu-r)/\sigma$ はいくつですか。

t =

許容:± 0.005

2数値で答える15点未回答

株価は $S_0=100$ 、金利は $r=3\%$ 、 $T=2$ 年です。 $E^{Q}[S_T]=S_0e^{rT}$ はいくつですか。小数第2位まで答えてください。

f =

許容:± 0.02

3数値で答える15点未回答

$100$ の株が $110$ か $90$ になり、現金は $2\%$ 増えます。上昇のリスク中立確率 $q$ は $q\cdot110+(1-q)\cdot90=102$ を満たします。 $q$ はいくつですか。

q =

許容:± 0.005

4数値で答える15点未回答

c =

許容:± 0.02

5選択15点未回答

実世界の測度 $P$ からリスク中立測度 $Q$ に移ると、株の式の何が変わりますか。

6手順を並べ替える10点未回答

手順を正しい順に並べてください。

ドラッグして並べ替えます。または項目にフォーカスし、スペースで持ち上げ、矢印キーで移動、スペースで置きます。

1平均を無リスク金利で割り引く
2ドリフトを無リスク金利に置き換える
3満期のペイオフを書く
4ペイオフを経路について平均する

7言葉で説明する15点未回答

1〜2文で、株の期待リターン $\mu$ がオプション価格に現れない理由を説明してください。

採点基準:オプションは株と現金でヘッジ・複製できるだから価格は mu に依存しない0 / 400文字

数学モードキーボードまたは LaTeX で入力問題1/7 · Ctrl ⏎ で確認

ギルサノフとリスク中立測度

価格ではなく確率を変える

ラボ：採点される内容

コードを実行するにはログインしてください。

ギルサノフとリスク中立測度

価格ではなく確率を変える

ラボ：採点される内容

コードを実行するにはログインしてください。