Volatilité locale et stochastique

La volatilité n'est pas une constante

Black-Scholes utilise un seul $\sigma$ constant. S'il était juste, toutes les options sur une action auraient la même volatilité implicite. Sur les marchés réels, ce n'est pas le cas : la volatilité implicite change avec le strike, le smile ou skew, et avec l'échéance. Deux idées corrigent cela. Dans la volatilité locale, le nombre $\sigma(S,t)$ est une fonction du prix et du temps, et la formule de Dupire choisit cette fonction pour que le modèle reproduise toute la surface des prix d'options d'aujourd'hui. Dans la volatilité stochastique, la variance $v$ est elle-même un processus aléatoire. L'exemple le plus connu est le modèle de Heston, où la variance est ramenée vers un niveau de long terme.

Dans Heston, la variance est un processus CIR, donc tout le sujet précédent s'applique : elle est ramenée vers $\theta$ à la vitesse $\kappa$ et reste positive si $2\kappa\theta\ge\xi^{2}$. La corrélation $\rho$ relie les chocs de prix et de variance. Pour les actions, elle est négative : quand le prix baisse, la volatilité monte. Cela crée le skew, avec une volatilité implicite plus élevée pour les strikes bas. Les deux approches diffèrent sur ce qu'elles disent de l'avenir. En volatilité locale, la volatilité est une fonction du prix, elle bouge donc en bloc avec lui. En volatilité stochastique, elle a ses propres chocs, ce qui est plus proche de ce que montrent les marchés.

• Smile et skew : la volatilité implicite diffère selon le strike et l'échéance, un seul $\sigma$ constant ne suffit donc pas.
• Volatilité locale : $\sigma(S,t)$ est une fonction du prix et du temps, ajustée à la surface d'options d'aujourd'hui.
• Volatilité stochastique : la variance a ses propres chocs, et $\rho<0$ donne le skew des actions.

Lab : ce qui est noté

• La volatilité de long terme15 pts
• La variance attendue15 pts
• La marge de Feller15 pts
• Le signe de la corrélation15 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Construire un modèle de volatilité locale10 pts
• Pourquoi une seule volatilité ne suffit pas15 pts