De um modelo a um hedge
Uma opção vale o que custa protegê-la. Este laboratório percorre toda a cadeia com preços do SPY. Primeiro estime um movimento browniano geométrico a partir dos retornos diários. A volatilidade σ é o desvio padrão dos retornos levado a um ano. A deriva do preço é μ=r̄·252+σ²/2: o σ²/2 extra vem do lema de Itô, porque o log do preço cresce mais devagar que o preço. Depois simule trajetórias a partir de uma matriz de sorteios normais, uma vez com o esquema exato e outra com o de Euler. Os mesmos sorteios alimentam os dois, então dá para compará-los trajetória a trajetória.
Em seguida, precifique um call de duas formas. A fórmula de Black-Scholes é a média exata sob a medida neutra ao risco. O Monte Carlo chega a ela simulando com a deriva r, tirando a média do pagamento e descontando. Nunca é exato: erra cerca de um erro padrão. Por fim, faça o hedge. Venda o call, compre Δ ações e deixe o resto em caixa. A cada data de rebalanceamento, deixe o caixa crescer à taxa r, recalcule Δ com o tempo restante e ajuste a posição. O erro no vencimento é o que o hedge deixa para trás.
- Exato e Euler: os mesmos sorteios dão duas trajetórias. A diferença é o erro de discretização do tópico anterior.
- Preço = custo do hedge: com negociação contínua o hedge é perfeito, com poucos rebalanceamentos sobra um erro da ordem de 1/√n.
- O erro real é um erro de volatilidade: rebalancear mais vezes não corrige um σ errado.
Lab: o que é avaliado
- Estimar o modelo10 pts
- Trajetórias exatas15 pts
- Trajetórias de Euler10 pts
- O call de Black-Scholes15 pts
- O delta5 pts
- Preço Monte Carlo10 pts
- O hedge25 pts
- O estudo de hedge10 pts