大数定律

平均值会趋稳，但很慢

设独立观测 $X_1,X_2,\dots$ 有相同的均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ ， $\bar X_n$ 是它们的平均。大数定律说：随着 $n$ 增大， $\bar X_n$ 收敛到 $\mu$ 。这就是赌场长期会赢的原因，也是蒙特卡洛平均值收敛到真实期望的原因，还是用更多数据估计平均收益更好的原因。

E[\bar X_n]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X_n)=\frac{\sigma^{2}}{n},\qquad \text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

(1)

收敛有多快？平均值的均值仍是 $\mu$ ，方差却是 $\sigma^2/n$ ，所以它的典型误差，即标准误，为 $\sigma/\sqrt{n}$ 。精度只按样本量的平方根提高：要让误差减半需要 4 倍的数据，要多得到一位有效数字需要 100 倍的数据。蒙特卡洛模拟的误差也服从同样的平方根规律。

十年能说明什么某股票年化波动率为

\sigma=20\%

。十年的年收益率给出的均值标准误为

20\%/\sqrt{10}\approx6.3\%

。合理的真实期望收益率在 6% 到 8% 之间，所以估计的不确定性和这个量本身一样大：十年的数据无法有把握地区分期望收益 7% 的股票和 0% 的股票。要把均值精确到

\pm1\%

，需要

(20/1)^2=400

年。

大数定律：随着 $n$ 增大，样本均值收敛到真实均值。
标准误： $\sigma/\sqrt{n}$ ；数据量变为 4 倍则减半。
不是补偿定律：过去的运气不会被未来的运气纠正。

赌徒谬误连续五笔亏损之后，下一笔盈利并不是“该来了”。独立试验没有记忆：大数定律起作用是因为新数据淹没了最初那一串，而不是因为那一串被抵消。前 1000 次试验的平均值主要由后面的试验决定，但累计盈亏却可能越来越偏离期望值，偏离幅度约为

\sigma\sqrt{n}

。

实验：评分内容

标准误15 分
所需样本量15 分
定律说了什么15 分
不保证的内容15 分
蒙特卡洛精度15 分
十年的数据15 分
为什么十年不够10 分

平均值会趋稳，但很慢

E[\bar X_n]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X_n)=\frac{\sigma^{2}}{n},\qquad \text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

(1)

十年能说明什么某股票年化波动率为

\sigma=20\%

。十年的年收益率给出的均值标准误为

20\%/\sqrt{10}\approx6.3\%

\pm1\%

，需要

(20/1)^2=400

年。

大数定律：随着 $n$ 增大，样本均值收敛到真实均值。
标准误： $\sigma/\sqrt{n}$ ；数据量变为 4 倍则减半。
不是补偿定律：过去的运气不会被未来的运气纠正。

\sigma\sqrt{n}

。

实验：评分内容

标准误15 分
所需样本量15 分
定律说了什么15 分
不保证的内容15 分
蒙特卡洛精度15 分
十年的数据15 分
为什么十年不够10 分

平均值会趋稳，但很慢

实验：评分内容

登录后即可运行你的代码。

大数定律

平均值会趋稳，但很慢

实验：评分内容

登录后即可运行你的代码。