中心极限定理

为什么钟形曲线无处不在

大数定律说平均值会稳定在 $\mu$ 附近。中心极限定理则说明剩下的误差是什么样子：对均值为 $\mu$ 、方差 $\sigma^2$ 有限的独立观测，标准化的平均值 $\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 在 $n$ 很大时近似服从标准正态分布，无论原分布是什么形状。许多微小独立影响的和与平均即使其组成部分不是正态的，也会呈正态。

\bar X_n\ \approx\ N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^{2}}{n}\right),\qquad \mu\in\bar X_n\pm1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \ (95\%)

(1)

因此，均值的 95% 置信区间就是样本平均值加减 1.96 个标准误，平均值偏离期望很远的概率也能从正态表里读出。 $n$ 个独立项之和，若每项标准差为 $\sigma$ ，则其标准差为 $\sigma\sqrt{n}$ ：日波动率乘以 $\sqrt{252}$ 得到年化波动率，这是同一个定理从求和一侧看到的样子。

置信区间与概率设日收益率

\sigma=3\%

。

n=36

天平均值的标准误为

3\%/6=0.5\%

，所以真实均值的 95% 区间为样本平均

\pm0.98\%

。若标准误改为

0.25\%

，样本均值比真实均值高出

0.5\%

的概率为

P(Z>2)\approx0.0228

。另外，25 个独立交易日、每日波动率 1%，其和的标准差为

1\%\cdot\sqrt{25}=5\%

。

中心极限定理：许多方差有限的独立项的平均和求和近似服从正态。
置信区间：平均 $\pm1.96\,\sigma/\sqrt{n}$ ，约 95%。
时间平方根法则：独立的日波动率按 $\sqrt{T}$ 放大到 $T$ 天。

定理帮助有限的时候正态近似针对的是分布的中心部分，并要求独立性和有限方差。收益率厚尾时它出现得很慢，对极端值几乎没有说服力；存在波动率聚集时观测并不独立，有效样本比

n

小。在相信 1.96 个标准误的区间之前，要先检查这些假设。

实验：评分内容

标准误10 分
尾部概率15 分
置信区间15 分
定理的要求15 分
多日求和10 分
近似较差的时候15 分
厚尾使定理变慢20 分

为什么钟形曲线无处不在

\bar X_n\ \approx\ N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^{2}}{n}\right),\qquad \mu\in\bar X_n\pm1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \ (95\%)

(1)

置信区间与概率设日收益率

\sigma=3\%

。

n=36

天平均值的标准误为

3\%/6=0.5\%

，所以真实均值的 95% 区间为样本平均

\pm0.98\%

。若标准误改为

0.25\%

，样本均值比真实均值高出

0.5\%

的概率为

P(Z>2)\approx0.0228

。另外，25 个独立交易日、每日波动率 1%，其和的标准差为

1\%\cdot\sqrt{25}=5\%

。

中心极限定理：许多方差有限的独立项的平均和求和近似服从正态。
置信区间：平均 $\pm1.96\,\sigma/\sqrt{n}$ ，约 95%。
时间平方根法则：独立的日波动率按 $\sqrt{T}$ 放大到 $T$ 天。

n

小。在相信 1.96 个标准误的区间之前，要先检查这些假设。

实验：评分内容

标准误10 分
尾部概率15 分
置信区间15 分
定理的要求15 分
多日求和10 分
近似较差的时候15 分
厚尾使定理变慢20 分

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