Zentraler Grenzwertsatz

Warum Glockenkurven überall auftauchen

Das Gesetz der großen Zahlen sagt, dass sich der Durchschnitt nahe $\mu$ einpendelt. Der zentrale Grenzwertsatz sagt, wie der Restfehler aussieht: Für unabhängige Beobachtungen mit Mittelwert $\mu$ und endlicher Varianz $\sigma^2$ ist der standardisierte Durchschnitt $\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ für großes $n$ näherungsweise standardnormalverteilt, welche Form die Ausgangsverteilung auch hat. Summen und Mittel vieler kleiner unabhängiger Effekte sind normal, auch wenn die Bausteine es nicht sind.

Deshalb ist ein 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert der Stichprobendurchschnitt plus/minus 1,96 Standardfehler, und deshalb lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Durchschnitt weit von seinem Erwartungswert entfernt liegt, in der Normaltabelle ablesen. Eine Summe aus $n$ unabhängigen Termen mit je Standardabweichung $\sigma$ hat die Standardabweichung $\sigma\sqrt{n}$: Die Tagesvolatilität wird durch Multiplikation mit $\sqrt{252}$ zur Jahresvolatilität, derselbe Satz von der Summenseite gesehen.

• ZGS: Mittel und Summen vieler unabhängiger Terme mit endlicher Varianz sind näherungsweise normal.
• Konfidenzintervall: Durchschnitt $\pm1{,}96\,\sigma/\sqrt{n}$ für etwa 95 %.
• Wurzel-Zeit-Regel: unabhängige Tagesvolatilität skaliert auf $T$ Tage mit $\sqrt{T}$.

Lab: Was bewertet wird

• Ein Standardfehler10 Pkt.
• Eine Randwahrscheinlichkeit15 Pkt.
• Ein Konfidenzintervall15 Pkt.
• Was der Satz braucht15 Pkt.
• Eine Summe über Tage10 Pkt.
• Wenn die Näherung schlecht ist15 Pkt.
• Schwere Ränder verlangsamen den Satz20 Pkt.